Calcule a integrais a seguir utilizando a técnica de integração por decomposição em frações parciais.
\int \frac{x^{2}-x+6}{x^{3}-2 x^{2}-x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede
\int \frac{x^{2}-x+6}{x^{3}-2x^{2}-x+2}\,dx
usando integração por frações parciais. O conteúdo envolvido é a decomposição de uma função racional em frações simples, o que exige fatorar o denominador e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador cubiço:
x^{3}-2x^{2}-x+2 = (x^{2}-1)(x-2) = (x-1)(x+1)(x-2).

Passo 3

Procuramos constantes A, B e C tais que
\frac{x^{2}-x+6}{(x-1)(x+1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x-2}.
Isso equivale a
x^{2}-x+6 = A\,(x+1)(x-2) \;+\; B\,(x-1)(x-2)\;+\; C\,(x-1)(x+1).
Expandindo cada termo e coletando poderes de x, obtemos as equações de coeficientes: A+B+C=1, -A-3B= -1, -2A+2B -C=6.

Passo 4

Resolvendo o sistema A+3B=1, -2B+C=0, -2A+2B-C=6,
encontramos
A=-3,\quad B=\tfrac{4}{3},\quad C=\tfrac{8}{3}.

Passo 5

Substituindo na integral original e integrando termo a termo:
\int \frac{x^{2}-x+6}{x^{3}-2x^{2}-x+2}\,dx = \int \Bigl(\frac{-3}{x-1} + \frac{4/3}{x+1} + \frac{8/3}{x-2}\Bigr)\,dx
= -3\ln\lvert x-1\rvert + \frac{4}{3}\ln\lvert x+1\rvert + \frac{8}{3}\ln\lvert x-2\rvert + C.

Resposta

-3\ln\lvert x-1\rvert \;+\;\frac{4}{3}\ln\lvert x+1\rvert \;+\;\frac{8}{3}\ln\lvert x-2\rvert + C.

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