Calcule a integrais a seguir utilizando a técnica de integração por decomposição em frações parciais.
\int \frac{x^{2}}{x^{3}-4 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int \frac{x^{2}}{x^{3} - 4x^{2}}\,dx
utilizando a técnica de decomposição em frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, montar a forma de frações parciais e encontrar os coeficientes.

Passo 2

Fatoramos o denominador e vemos que a fração é própria (grau do numerador menor que grau do denominador):
x^{3}-4x^{2}=x^{2}(x-4).
Escrevemos então a decomposição em frações parciais:
\frac{x^{2}}{x^{2}(x-4)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{\,x-4\,}.

Passo 3

Multiplicamos tudo por x^{2}(x-4)\) e igualamos os polinômios: \[x^{2}=A\,x(x-4)+B\,(x-4)+C\,x^{2}.
Expandindo,
x^{2}=(A+C)x^{2}+(B-4A)x-4B.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+C=1,\\\ B-4A=0,\\\\ -4B=0, \end{cases}
B=0\], depois \(A=0 e finalmente C=1.

Passo 4

Com A=0, B=0, C=1, a integranda vira
\frac{x^{2}}{x^{3}-4x^{2}} =\frac{1}{x-4}.
Logo
\int \frac{x^{2}}{x^{3}-4x^{2}}\,dx =\int \frac{1}{x-4}\,dx =\ln\bigl|x-4\bigr|+C.

Resposta

\displaystyle \ln\bigl|x-4\bigr|+C

Exercícios relacionados