Calcule a integrais a seguir utilizando a técnica de integração por decomposição em frações parciais.
\int \frac{x^{3}+1}{(x-5)\left(x^{2}+9\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x^{3}+1}{(x-5)\,\bigl(x^{2}+9\bigr)}\,dx
usando a técnica de decomposição em frações parciais. Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, vamos primeiro fazer a divisão polinomial para obter uma parte polinomial mais uma fração própria. Depois decompondo essa fração em somas de termos mais simples, integraremos cada um.

Passo 2

Fazemos a divisão de
\frac{x^{3}+1}{(x-5)(x^{2}+9)} = \frac{x^{3}+1}{x^{3}-5x^{2}+9x-45}.
O quociente é 1 e o resto é
(x^{3}+1) - (x^{3}-5x^{2}+9x-45) = 5x^{2}-9x+46.
Logo
\frac{x^{3}+1}{(x-5)(x^{2}+9)} = 1 + \frac{5x^{2}-9x+46}{(x-5)(x^{2}+9)}.
Assim a integral vira
\int \frac{x^{3}+1}{(x-5)(x^{2}+9)}\,dx = \int 1\,dx \;+\;\int \frac{5x^{2}-9x+46}{(x-5)(x^{2}+9)}\,dx.

Passo 3

Para a fração própria usamos
\frac{5x^{2}-9x+46}{(x-5)(x^{2}+9)} = \frac{A}{x-5} + \frac{Bx + C}{x^{2}+9}.
Multiplicando ambos os lados por (x-5)(x^{2}+9), obtemos a identidade
5x^{2}-9x+46 = A(x^{2}+9) + (Bx+C)(x-5).
Desenvolvendo o lado direito:
A x^{2} + 9A + Bx^{2} -5B x + Cx -5C = (A+B)x^{2} + (C-5B)x + (9A-5C).

Passo 4

Igualando coeficientes em (A+B)x^{2} + (C-5B)x + (9A-5C) = 5x^{2}-9x+46, temos o sistema
\begin{cases} A + B = 5,\\\ C - 5B = -9,\\\\ 9A - 5C = 46. \end{cases}
Dessa forma, resolvendo, achamos
B = \frac{22}{17},\quad A = \frac{63}{17},\quad C = -\frac{43}{17}.
Portanto
\frac{5x^{2}-9x+46}{(x-5)(x^{2}+9)} = \frac{\tfrac{63}{17}}{x-5} + \frac{\tfrac{22}{17}\,x - \tfrac{43}{17}}{x^{2}+9}.

Passo 5

Substituindo na integral e separando constantes:
\int \frac{x^{3}+1}{(x-5)(x^{2}+9)}\,dx = \int 1\,dx + \frac{63}{17} \int \frac{dx}{x-5} + \frac{22}{17} \int \frac{x\,dx}{x^{2}+9} - \frac{43}{17} \int \frac{dx}{x^{2}+9}.
Calculamos cada uma:
\int 1\,dx = x, \quad \int \frac{dx}{x-5} = \ln\lvert x-5\rvert,
\int \frac{x\,dx}{x^{2}+9} = \tfrac12 \ln\bigl(x^{2}+9\bigr), \quad \int \frac{dx}{x^{2}+9} = \frac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).
Logo, reunindo tudo,

Resposta

\boxed{ x + \frac{63}{17}\,\ln\lvert x-5\rvert + \frac{11}{17}\,\ln\bigl(x^{2}+9\bigr) - \frac{43}{51}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C }.

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