Calcule a integrais a seguir utilizando a técnica de integração por decomposição em frações parciais.
Passo 1
O enunciado pede calcular
usando a técnica de decomposição em frações parciais. Como o grau do numerador é igual ao grau do denominador, vamos primeiro fazer a divisão polinomial para obter uma parte polinomial mais uma fração própria. Depois decompondo essa fração em somas de termos mais simples, integraremos cada um.
Passo 2
Fazemos a divisão de
O quociente é
e o resto é
Logo
Assim a integral vira
Passo 3
Para a fração própria usamos
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos a identidade
Desenvolvendo o lado direito:
Passo 4
Igualando coeficientes em
, temos o sistema
Dessa forma, resolvendo, achamos
Portanto
Passo 5
Substituindo na integral e separando constantes:
Calculamos cada uma:
Logo, reunindo tudo,