Calcule as integrais por substituição:
(h)
integral 1raizx^2-16 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a integral por substituição. A questão é sobre integrais envolvendo funções com raiz quadrada, especificamente . Para resolver, vamos precisar usar a técnica de substituição trigonométrica, que é útil quando temos expressões como .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Aqui, temos , então vamos fazer uma substituição trigonométrica onde . Isso porque , o que vai facilitar a raiz quadrada.

Passo 3

Com , precisamos calcular o diferencial . Derivando ambos os lados, temos . Agora, substituímos e na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, fica:
integral 1raiz(4sec(theta))^2 - 16 cdot 4sec(theta)tan(theta) , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz16sec^2(theta) - 16 = raiz16(sec^2(theta) - 1) = raiz16tan^2(theta) = 4tan(theta)

Passo 5

Agora, a integral fica:
integral 14tan(theta) cdot 4sec(theta)tan(theta) , dtheta = integral sec(theta) , dtheta
A integral de é .

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original sec(theta) = x4 e tan(theta) = raizsec^2(theta) - 1 = raiz(x4)^2 - 1 = raizx^2 - 164 . Sabemos que , então:
Substituindo esses valores na expressão da integral:

Resposta

integral 1raizx^2-16 , dx = ln| x4 + raizx^2 - 164 | + C = ln| x + raizx^2 - 16 | + C

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