Encontre o volume do sólido abaixo do plano z = x + y e acima da região D no plano xy , onde D é o triângulo com vértices (0,0),(2,0), e (2, 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume de um sólido que está abaixo do plano e acima de uma região triangular no plano . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular volumes como esse. Vamos precisar entender como descrever a região e depois integrar a função sobre ela.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é um triângulo no plano com vértices em , e . Para facilitar, vamos desenhar esse triângulo:
  • O ponto é a origem.
  • está 2 unidades no eixo .
  • está 2 unidades no eixo e 2 no eixo .
Isso forma um triângulo retângulo com a base no eixo .

Passo 3

Agora, precisamos descrever matematicamente a região para poder integrar. Vamos fixar o intervalo de e para cada , determinar o intervalo de .
Observando o triângulo:
  • varia de 0 a 2.
  • Para cada , começa em 0 e vai até a linha (que liga a ).
Então, nossos limites de integração são:

Passo 4

Com os limites de integração definidos, podemos montar a integral dupla para calcular o volume. A função que vamos integrar é . Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos resolver essa integral:

Resposta

O volume do sólido é 4 unidades cúbicas.

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