Encontre o volume do sólido abaixo do plano
e acima da região D no plano xy , onde D é o triângulo com vértices
, e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o volume de um sólido que está abaixo do plano
e acima de uma região triangular
no plano
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais duplas, que nos ajudam a calcular volumes como esse. Vamos precisar entender como descrever a região
e depois integrar a função
sobre ela.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela é um triângulo no plano
com vértices em
,
e
. Para facilitar, vamos desenhar esse triângulo:
- O ponto
é a origem. -
está 2 unidades no eixo . -
está 2 unidades no eixo e 2 no eixo .
Isso forma um triângulo retângulo com a base no eixo
.
Passo 3
Agora, precisamos descrever matematicamente a região
para poder integrar. Vamos fixar o intervalo de
e para cada
, determinar o intervalo de
.
Observando o triângulo:
-
varia de 0 a 2. - Para cada
, começa em 0 e vai até a linha (que liga a ).
Então, nossos limites de integração são:
Passo 4
Com os limites de integração definidos, podemos montar a integral dupla para calcular o volume. A função que vamos integrar é
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Calculando cada parte:
Somando as duas partes:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Vamos resolver essa integral:
Resposta
O volume do sólido é 4 unidades cúbicas.