Determine o valor da integral de linha
, onde:
e a curva
, cuja imagem do círculo definido por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial é
e a curva
é o círculo definido por
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
delimitada por
de
. Ou seja:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial
. Aqui,
e
. Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a diferença das derivadas é:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é o interior do círculo
. A área desse círculo é:
Como a função que vamos integrar é constante (
), a integral dupla fica:
Resposta
O valor da integral de linha é
.