Determine o valor da integral de linha integralgamma F cdot d gamma, onde:
F(x, y)=(-y, x) e a curva gamma, cuja imagem do círculo definido por x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é e a curva é o círculo definido por . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especialmente o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região delimitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que para um campo vetorial ointgamma F cdot dgamma = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região delimitada por de . Ou seja:

Passo 3

Vamos identificar partial Qpartial x = partial xpartial x = 1 e partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1 no nosso campo vetorial partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2 . Aqui, e . Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Então, a diferença das derivadas é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral dupla de A = pi r^2 = pi (2)^2 = 4pi sobre a região integral duplaD 2 , dA = 2 times Área de D = 2 times 4pi = 8pi , que é o interior do círculo . A área desse círculo é:
Como a função que vamos integrar é constante ( ), a integral dupla fica:
Á

Resposta

O valor da integral de linha é .

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