Calcule as integrais por substituição:
\int_{0}^{4} \sqrt{3 x+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4} \sqrt{3x+4}\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo aqui é a técnica de mudança de variável em integrais, em que escolhemos u de modo que a parte dentro da raiz fique mais simples, e depois ajustamos dx e os limites de integração.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 3x + 4.
Então, derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Também mudamos os limites: quando x=0, u = 3\cdot0 + 4 = 4; quando x=4, u = 3\cdot4 + 4 = 16.

Passo 3

Reescrevendo a integral em u, fica
\int_{x=0}^{x=4} \sqrt{3x+4}\,dx = \int_{u=4}^{u=16} \sqrt{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3} \int_{4}^{16} u^{1/2}\,du.
Sabemos que
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} = \frac{2}{3}\,u^{3/2}.
Logo,
\frac{1}{3} \int_{4}^{16} u^{1/2}\,du = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\,u^{3/2} \Big|_{4}^{16} = \frac{2}{9}\,u^{3/2}\Big|_{4}^{16}.

Passo 4

Agora avaliamos em u=16 e u=4:
u^{3/2}\Big|_{4}^{16} = 16^{3/2} - 4^{3/2} = ( \sqrt{16}\!)^{3} - (\sqrt{4}\!)^{3} = 4^{3} - 2^{3} = 64 - 8 = 56.
Assim,
\frac{2}{9} \times 56 = \frac{112}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{112}{9}

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