Calcule as integrais por substituição:
\int 2 x \cdot \sqrt{x^{2}+4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle\int 2x\sqrt{x^{2}+4}\,dx pelo método de substituição. Vamos aproveitar que a derivada de x^{2}+4 é 2x, o que simplifica a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2}+4
então
du = 2x\,dx.
Dessa forma, a parte 2x\,dx da integral vira exatamente du.

Passo 3

Em termos de u, a integral fica
\int 2x\sqrt{x^{2}+4}\,dx = \int \sqrt{u}\,du = \int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Para integrar u^{1/2}, usamos a regra de potências:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}\,u^{3/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{2}+4 e obtemos
\frac{2}{3}\,(x^{2}+4)^{3/2} + C.

Resposta

\frac{2}{3}(x^{2}+4)^{3/2} + C

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