Calcule as integrais por substituição:
\int 3 x^{2} \sqrt[3]{x^{3}+1} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
\int 3x^{2}\sqrt[3]{x^{3}+1}\,dx.
Aqui o conteúdo é integração por substituição, pois vemos que a parte x^{3}+1 tem derivada proporcional a 3x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3} + 1.
Diferenciando ambos os lados, temos
du = 3x^{2}\,dx,
ou seja, 3x^{2}\,dx = du.

Passo 3

Com isso, a integral original em termos de u fica
\int 3x^{2}\sqrt[3]{x^{3}+1}\,dx = \int \sqrt[3]{u}\,du = \int u^{\tfrac{1}{3}}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{\tfrac{1}{3}}\,du = \frac{u^{\tfrac{4}{3}}}{\tfrac{4}{3}} + C = \frac{3}{4}\,u^{\tfrac{4}{3}} + C.

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x substituindo u = x^{3}+1:
\frac{3}{4}\,(x^{3}+1)^{\tfrac{4}{3}} + C.

Resposta

\frac{3}{4}\,(x^{3}+1)^{\tfrac{4}{3}} + C.

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