Calcule as integrais por substituição:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral por substituição de:
Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem substituição trigonométrica, já que temos uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. Vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz:
. Isso se assemelha à identidade trigonométrica
, que sugere uma substituição envolvendo o seno ou o cosseno.
Vamos usar a substituição:
Isso implica que:
E substituindo
na expressão
:
Passo 3
Agora, substituímos tudo na integral original:
Simplificando passo a passo:
Substituindo:
Passo 4
Agora, precisamos integrar
. Para facilitar, podemos usar a identidade trigonométrica para simplificar o seno ao cubo:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos fazer uma substituição u para simplificar a integral:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, integramos em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original
. Lembrando que:
Então:
Passo 8
Finalmente, precisamos voltar à variável
. Lembrando que fizemos a substituição
, então:
E usando a identidade
.
Substituindo
:
Simplificando:
Resposta
A integral calculada por substituição é: