Calcule as integrais por substituição:
(1)
integral x^3raiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral por substituição de:
integral x^3raiz4 - x^2 , dx
Aqui, estamos lidando com integrais que envolvem substituição trigonométrica, já que temos uma raiz quadrada de uma expressão quadrática. Vamos precisar usar a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz: x = 2 sin theta . Isso se assemelha à identidade trigonométrica dx = 2 cos theta , dtheta , que sugere uma substituição envolvendo o seno ou o cosseno.
Vamos usar a substituição:
4 - x^2 = 4 - 4 sin^2 theta = 4(1 - sin^2 theta) = 4 cos^2 theta
Isso implica que:
E substituindo na expressão :

Passo 3

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral x^3raiz4 - x^2 , dx = integral (2 sin theta)^3raiz4 cos^2 theta cdot 2 cos theta , dtheta
Simplificando passo a passo:
  1. integral 8 sin^3 theta2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta = integral 8 sin^3 theta , dtheta
Substituindo:

Passo 4

Agora, precisamos integrar sin^3 theta = sin theta (1 - cos^2 theta) . Para facilitar, podemos usar a identidade trigonométrica para simplificar o seno ao cubo:
8 integral sin theta (1 - cos^2 theta) , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos fazer uma substituição u para simplificar a integral:
u = cos theta Rightarrow du = -sin theta , dtheta Rightarrow -du = sin theta , dtheta
Substituindo na integral:
8 integral sin theta (1 - cos^2 theta) , dtheta = 8 integral (1 - u^2) (-du) = 8 integral (u^2 - 1) , du

Passo 6

Agora, integramos em relação a 8 integral (u^2 - 1) , du = 8 ( u^33 - u ) + C = 83 u^3 - 8u + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original u = cos theta . Lembrando que:
83 u^3 - 8u + C = 83 cos^3 theta - 8 cos theta + C
Então:

Passo 8

Finalmente, precisamos voltar à variável sin theta = x2 Rightarrow theta = arcsin ( x2 ) . Lembrando que fizemos a substituição 83 cos^3 theta - 8 cos theta + C = 83 ( raiz4 - x^22 )^3 - 8 ( raiz4 - x^22 ) + C , então:
83 cdot (4 - x^2)^328 - 8 cdot raiz4 - x^22 + C = (4 - x^2)^323 - 4 raiz4 - x^2 + C
E usando a identidade .
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

A integral calculada por substituição é:
integral x^3raiz4 - x^2 , dx = (4 - x^2)^323 - 4 raiz4 - x^2 + C

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