Calcule o volume entre as curvas:
© Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região entre as curvas y = e^x e y = x + 2 em torno do eixo x, no intervalo x in [0, 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas e em torno do eixo , no intervalo de de 0 a 1. Vamos precisar usar a técnica de volumes por revolução, especificamente o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas. A primeira curva é , que é uma função exponencial crescente. A segunda curva é , que é uma reta também crescente. No intervalo de de 0 a 1, vamos visualizar qual dessas curvas está por cima para determinar como calcular o volume.

Passo 3

Vamos comparar os valores das duas funções nos extremos do intervalo para ver qual está maior:
  • Para :
    • Então, está acima de .
  • Para :
    • Novamente, está acima de .
Portanto, em todo o intervalo de 0 a 1, está acima de .

Passo 4

Agora, vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume quando rotacionamos em torno do eixo é:
Aqui, é a função que está acima no intervalo, e é a que está abaixo.

Passo 5

Substituindo as funções na fórmula:
Então, a expressão para o volume fica:

Passo 6

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto, a integral completa é:

Passo 8

Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de 0 a 1:
Para :
Para :
Subtraindo os valores:

Passo 9

Vamos somar as frações:
Então, a expressão fica:

Passo 10

Finalmente, multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido gerado é unidades cúbicas.

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