Calcule o volume entre as curvas:
© Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região entre as curvas
em torno do eixo
, no intervalo
© Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região entre as curvas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para encontrar o volume do sólido formado pela rotação da área entre as curvas
e
em torno do eixo
, no intervalo de
de 0 a 1. Vamos precisar usar a técnica de volumes por revolução, especificamente o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas. A primeira curva é
, que é uma função exponencial crescente. A segunda curva é
, que é uma reta também crescente. No intervalo de
de 0 a 1, vamos visualizar qual dessas curvas está por cima para determinar como calcular o volume.
Passo 3
Vamos comparar os valores das duas funções nos extremos do intervalo para ver qual está maior:
- Para
: -
-
- Então,
está acima de .
-
- Para
: -
-
- Novamente,
está acima de .
-
Portanto, em todo o intervalo de 0 a 1,
está acima de
.
Passo 4
Agora, vamos usar o método dos discos para calcular o volume. A fórmula geral para o volume
quando rotacionamos em torno do eixo
é:
Aqui,
é a função que está acima no intervalo, e
é a que está abaixo.
Passo 5
Substituindo as funções na fórmula:
Então, a expressão para o volume fica:
Passo 6
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Portanto, a integral completa é:
Passo 8
Agora, vamos avaliar a expressão nos limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Subtraindo os valores:
Passo 9
Vamos somar as frações:
Então, a expressão fica:
Passo 10
Finalmente, multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
unidades cúbicas.