Calcule as integrais por substituição simples:
\int x^{2} \operatorname{sen}\left(x^{3}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a integral
\int x^{2}\sin\!\left(x^{3}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x^{2}\sin\!\left(x^{3}\right).
  • Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x^{2}\sin\!\left(x^{3}\right).
  • Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Ideia da substituição: quando dentro de uma função trigonométrica aparece uma expressão mais complicada ( x^{3} aqui) e na frente aparece algo que se relaciona com a derivada dessa expressão ( x^{2}dx aqui), é natural fazer a substituição u=g(x) com g(x)= essa expressão interna. Assim tentamos simplificar a integral para uma integral em u.
Escolhemos
u = x^{3}.
Agora calculamos du em termos de dx. Derivando ambos os lados em relação a x,
du = \frac{d}{dx}\big(x^{3}\big)\,dx = 3x^{2}\,dx.
Isto significa que 3x^{2}\,dx = du, e isolando x^{2}\,dx obtemos
x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Aqui:
  • u é a nova variável (a substituição);
  • du é o diferencial de u;
  • expressar x^{2}\,dx em função de du permite trocar a integral para a variável u.

Passo 3

Agora substituímos u e x^{2}\,dx na integral original. A integral
\int x^{2}\sin\!\left(x^{3}\right)\,dx
torna-se, usando u=x^{3} e x^{2}\,dx=\dfrac{du}{3},
\int \sin(u)\cdot \frac{du}{3}.
Fatorando a constante \dfrac{1}{3} para fora da integral, obtemos
\frac{1}{3}\int \sin(u)\,du.

Passo 4

Agora vamos integrar \sin(u) em u. Lembrando das primitivas básicas:
  • a derivada de \cos(u) é -\sin(u), portanto a primitiva de \sin(u) é -\cos(u).
Assim
\int \sin(u)\,du = -\cos(u)+C.
Multiplicando pela constante \dfrac{1}{3} que estava fora da integral, temos
\frac{1}{3}\int \sin(u)\,du = \frac{1}{3}\big(-\cos(u)\big)+C = -\frac{1}{3}\cos(u)+C.

Passo 5

Voltando à variável original x (substituindo u=x^{3}), a primitiva fica
-\frac{1}{3}\cos\!\left(x^{3}\right)+C.

Passo 6

Verificação rápida por derivação (checagem útil na prova): derivando a resposta encontrada deve-se retornar ao integrando.
Derivando
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{3}\cos\!\left(x^{3}\right)\right) = -\frac{1}{3}\cdot\big(-\sin\!\left(x^{3}\right)\big)\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{3}\big) = \frac{1}{3}\sin\!\left(x^{3}\right)\cdot 3x^{2} = x^{2}\sin\!\left(x^{3}\right),
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Passo 7

Dica final para a prova (curto e prático): sempre que vir \sin\!\big(f(x)\big), \cos\!\big(f(x)\big) ou exponencial \mathrm{e}^{f(x)} multiplicado por algo que se parece com f'(x), pense em fazer u=f(x). Isso quase sempre simplifica a integral por substituição.

Resposta

-\dfrac{1}{3}\cos\!\left(x^{3}\right)+C

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