Calcule as integrais por substituição simples:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Quer-se uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão
tal que . - Não há limites de integração (é uma integral indefinida), então a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Ideia da substituição: quando dentro de uma função trigonométrica aparece uma expressão mais complicada (
aqui) e na frente aparece algo que se relaciona com a derivada dessa expressão (
aqui), é natural fazer a substituição
com
essa expressão interna. Assim tentamos simplificar a integral para uma integral em
.
Escolhemos
Agora calculamos
em termos de
. Derivando ambos os lados em relação a
,
Isto significa que
, e isolando
obtemos
Aqui:
-
é a nova variável (a substituição); -
é o diferencial de ; - expressar
em função de permite trocar a integral para a variável .
Passo 3
Agora substituímos
e
na integral original. A integral
torna-se, usando
e
,
Fatorando a constante
para fora da integral, obtemos
Passo 4
Agora vamos integrar
em
. Lembrando das primitivas básicas:
- a derivada de
é , portanto a primitiva de é .
Assim
Multiplicando pela constante
que estava fora da integral, temos
Passo 5
Voltando à variável original
(substituindo
), a primitiva fica
Passo 6
Verificação rápida por derivação (checagem útil na prova): derivando a resposta encontrada deve-se retornar ao integrando.
Derivando
Derivando
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.
Passo 7
Dica final para a prova (curto e prático): sempre que vir
,
ou exponencial
multiplicado por algo que se parece com
, pense em fazer
. Isso quase sempre simplifica a integral por substituição.