Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
f(x)=\int_{0}^{x^{3}} t g\left(1+t^{4}\right) d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\int_{0}^{x^{3}} t\,g\bigl(1+t^{4}\bigr)\,dt.
O que se pede (implicitamente) é calcular a derivada dessa função em relação a x, ou seja encontrar f'(x).
Informações relevantes que temos:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando é a função de t dada por t\,g\bigl(1+t^{4}\bigr).
  • O limite inferior da integral é a constante 0.
  • O limite superior é a função de x dada por x^{3}.

Passo 2

Vamos lembrar (e entender) a ferramenta principal: o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.
Regra básica do Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática):
\text{Se }F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,\quad\text{então }F'(x)=f(x).ã
Aqui a é constante, t é a variável de integração e x é a variável externa que aparece no limite superior.
Agora o caso com limite superior dependente de x: se
H(x)=\int_{a}^{h(x)} f(t)\,dt,
então podemos escrever H(x)=G(h(x)) com G(u)=\int_{a}^{u} f(t)\,dt. Aplicando a regra da cadeia e a forma básica do teorema obtemos
H'(x)=G'(h(x))\cdot h'(x)=f\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).
Explicando as peças:
  • f(t) é o integrando (função de t).
  • h(x) é a função que aparece como limite superior.
  • h'(x) é a derivada de h em relação a x.
  • Em f\bigl(h(x)\bigr) substituímos t por h(x).

Passo 3

Identificando no nosso caso:
  • O integrando f(t) (vou chamar de \varphi(t) para distinguir do f original) é
\varphi(t)=t\,g\bigl(1+t^{4}\bigr).
  • O limite superior é h(x)=x^{3}.
    Pelo argumento do passo anterior, a derivada é
f'(x)=\varphi\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x).

Passo 4

Calculemos cada parte explicitamente.
  1. Avaliar \varphi em h(x):
\varphi\bigl(h(x)\bigr)=\varphi\bigl(x^{3}\bigr)=x^{3}\,g\bigl(1+(x^{3})^{4}\bigr).
Note que (x^{3})^{4}=x^{12}, portanto
\varphi\bigl(x^{3}\bigr)=x^{3}\,g\bigl(1+x^{12}\bigr).
  1. Derivar h(x)=x^{3}:
h'(x)=3x^{2}.
  1. Multiplicando:
f'(x)=\bigl(x^{3}\,g(1+x^{12})\bigr)\cdot 3x^{2}=3x^{5}\,g(1+x^{12}).

Passo 5

Só para fixar a ideia com um exemplo rápido: se tivéssemos F(x)=\int_{0}^{x^{2}}\sin t\,dt, usaríamos exatamente o mesmo raciocínio com \varphi(t)=\sin t e h(x)=x^{2}, obtendo F'(x)=\sin(x^{2})\cdot 2x. É o mesmo padrão que usamos aqui.

Resposta

f'(x)=3x^{5}\,g(1+x^{12})

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