Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O que se pede (implicitamente) é calcular a derivada dessa função em relação a
, ou seja encontrar
.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A variável de integração é
. - O integrando é a função de
dada por . - O limite inferior da integral é a constante
. - O limite superior é a função de
dada por .
Passo 2
Vamos lembrar (e entender) a ferramenta principal: o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia.
Regra básica do Teorema Fundamental do Cálculo (forma prática):
Aqui
é constante,
é a variável de integração e
é a variável externa que aparece no limite superior.
Agora o caso com limite superior dependente de
: se
então podemos escrever
com
. Aplicando a regra da cadeia e a forma básica do teorema obtemos
Explicando as peças:
-
é o integrando (função de ). -
é a função que aparece como limite superior. -
é a derivada de em relação a . - Em
substituímos por .
Passo 3
Identificando no nosso caso:
- O integrando
(vou chamar de para distinguir do original) é
- O limite superior é
.
Pelo argumento do passo anterior, a derivada é
Passo 4
Calculemos cada parte explicitamente.
- Avaliar
em :
Note que
, portanto
- Derivar
:
- Multiplicando:
Passo 5
Só para fixar a ideia com um exemplo rápido: se tivéssemos
, usaríamos exatamente o mesmo raciocínio com
e
, obtendo
. É o mesmo padrão que usamos aqui.