Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
O que se pede (implícito) é calcular a derivada de
em relação a
, ou seja
. Informações úteis que temos:
- A função integranda é
. - O limite inferior da integral é a constante
. - O limite superior é a função
(dependente de ).
Passo 2
Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (forma usada aqui). Se
com
contínua, então
Isto significa: se a integral tem um limite superior que é exatamente a variável de diferenciação, a derivada da integral é simplesmente o valor da integranda avaliada nesse limite superior. Aqui é importante que
seja contínua — no nosso caso
é contínua para todo
, porque é uma exponencial de um polinômio.
Passo 3
Regra da cadeia (aplicada a integrais com limite superior dependente de
). Se definimos
então podemos ver
como composição
com
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos
. Aplicando a regra da cadeia,
Ou seja: para limite superior
, a derivada é a integranda avaliada em
multiplicada por
.
Passo 4
Aplicando ao nosso problema: identifiquei
Verificamos que
é contínua, então podemos usar a fórmula do passo anterior. Calculamos
:
Usando
obtemos a expressão da derivada (aqui está o procedimento final):
Passo 5
Pequeno exemplo extra para fixar (não é requerido, só para treinar): se
, então por mesma ideia
. Assim fica mais claro como o fator
aparece.