Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
f(x)=\int_{1}^{\cos (x)} e^{1+t^{4}} d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\int_{1}^{\cos(x)} e^{1+t^{4}}\,dt
O que se pede (implícito) é calcular a derivada de f em relação a x, ou seja f'(x). Informações úteis que temos:
  • A função integranda é e^{1+t^{4}}.
  • O limite inferior da integral é a constante 1.
  • O limite superior é a função \cos(x) (dependente de x).

Passo 2

Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (forma usada aqui). Se
G(u)=\int_{a}^{u} g(t)\,dt
com g contínua, então
G'(u)=g(u).
Isto significa: se a integral tem um limite superior que é exatamente a variável de diferenciação, a derivada da integral é simplesmente o valor da integranda avaliada nesse limite superior. Aqui é importante que g seja contínua — no nosso caso g(t)=e^{1+t^{4}} é contínua para todo t, porque é uma exponencial de um polinômio.

Passo 3

Regra da cadeia (aplicada a integrais com limite superior dependente de x). Se definimos
H(x)=\int_{a}^{u(x)} g(t)\,dt,
então podemos ver H como composição H(x)=G(u(x)) com G(u)=\int_{a}^{u} g(t)\,dt. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos G'(u)=g(u). Aplicando a regra da cadeia,
H'(x)=G'(u(x))\cdot u'(x)=g(u(x))\cdot u'(x).
Ou seja: para limite superior u(x), a derivada é a integranda avaliada em u(x) multiplicada por u'(x).

Passo 4

Aplicando ao nosso problema: identifiquei
g(t)=e^{1+t^{4}},\qquad u(x)=\cos(x).
Verificamos que g é contínua, então podemos usar a fórmula do passo anterior. Calculamos u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x).
Usando H'(x)=g(u(x))\cdot u'(x) obtemos a expressão da derivada (aqui está o procedimento final):
f'(x)=e^{1+(\cos x)^{4}}\cdot\bigl(-\sin x\bigr).

Passo 5

Pequeno exemplo extra para fixar (não é requerido, só para treinar): se h(x)=\int_{0}^{x^{2}} t\,dt, então por mesma ideia h'(x)= (x^{2})'\cdot (x^{2}) = 2x\cdot x^{2}=2x^{3}. Assim fica mais claro como o fator u'(x) aparece.

Resposta

-\sin(x)\,e^{1+\cos^{4}(x)}

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