Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para calcular a integral — aqui o objetivo usual é obter a derivada de
, ou seja calcular
. As informações relevantes são:
- o integrando é
; - o limite inferior da integral é
(constante); - o limite superior é
(uma função de ).
Passo 2
Lembrete prático (Teorema Fundamental do Cálculo, versão usada aqui). Se
com
contínua, então
Isto significa: derivar uma integral com limite superior igual à variável devolve o integrando avaliado naquele ponto. É uma ideia poderosa: a integral acumulada tem derivada igual à taxa instantânea do integrando.
Passo 3
Agora a situação do nosso
tem o limite superior não sendo simplesmente
, mas uma função
. Para esse caso usamos composição com a regra da cadeia. Mais precisamente, se
definimos
. Então
. Aplicando derivada e a regra da cadeia:
Ou seja: avalia-se o integrando em
e multiplica-se pela derivada de
.
Passo 4
Vamos identificar as peças do problema com as notações acima:
-
. -
.
Portanto.
Passo 5
Calcular
e
.
- Derivada de
é
- Avaliando o integrando em
dá
Passo 6
Aplicando a fórmula da regra da cadeia combinada com o Teorema Fundamental do Cálculo:
Podemos escrever de forma mais habitual: