Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
f(x)=\int_{0}^{x^{4}} \operatorname{sen}\left(t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\int_{0}^{x^{4}}\operatorname{sen}\!\left(t^{2}\right)\,dt
e pede para calcular a integral — aqui o objetivo usual é obter a derivada de f, ou seja calcular f'(x). As informações relevantes são:
  • o integrando é \operatorname{sen}\!\left(t^{2}\right);
  • o limite inferior da integral é 0 (constante);
  • o limite superior é x^{4} (uma função de x).

Passo 2

Lembrete prático (Teorema Fundamental do Cálculo, versão usada aqui). Se
G(u)=\int_{a}^{u} g(t)\,dt
com g contínua, então
G'(u)=g(u).
Isto significa: derivar uma integral com limite superior igual à variável devolve o integrando avaliado naquele ponto. É uma ideia poderosa: a integral acumulada tem derivada igual à taxa instantânea do integrando.

Passo 3

Agora a situação do nosso f tem o limite superior não sendo simplesmente x, mas uma função h(x). Para esse caso usamos composição com a regra da cadeia. Mais precisamente, se
F(x)=\int_{a}^{h(x)} g(t)\,dt,
definimos G(u)=\int_{a}^{u} g(t)\,dt. Então F(x)=G(h(x)). Aplicando derivada e a regra da cadeia:
F'(x)=G'(h(x))\cdot h'(x)=g(h(x))\cdot h'(x).
Ou seja: avalia-se o integrando em t=h(x) e multiplica-se pela derivada de h(x).

Passo 4

Vamos identificar as peças do problema com as notações acima:
  • g(t)=\operatorname{sen}\!\left(t^{2}\right).
  • h(x)=x^{4}.
    Portanto f(x)=\int_{0}^{h(x)} g(t)\,dt.

Passo 5

Calcular h'(x) e g(h(x)).
  • Derivada de h(x)=x^{4} é
h'(x)=4x^{3}.
  • Avaliando o integrando em t=h(x)=x^{4}
g(h(x))=\operatorname{sen}\!\bigl((x^{4})^{2}\bigr)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{8}\bigr).

Passo 6

Aplicando a fórmula da regra da cadeia combinada com o Teorema Fundamental do Cálculo:
f'(x)=g(h(x))\cdot h'(x)=\operatorname{sen}\!\bigl(x^{8}\bigr)\cdot 4x^{3}.
Podemos escrever de forma mais habitual:
f'(x)=4x^{3}\,\operatorname{sen}\!\bigl(x^{8}\bigr).

Resposta

f'(x)=4x^{3}\,\operatorname{sen}\!\bigl(x^{8}\bigr)

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