Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
f(x)=\int_{1}^{x^{2}} e^{t^{3}} d t

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\int_{1}^{x^{2}} e^{t^{3}}\,dt
e pede para calcular a(s) integral(is) pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Ou seja, aqui queremos obter a derivada de f em relação a x (isto é, f'(x)), usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (forma útil para derivadas): se F é definida por
F(x)=\int_{a}^{x} g(t)\,dt
e g é contínua, então
F'(x)=g(x).
Intuição simples: variar o limite superior em x acrescenta uma “fatia” pequena da área cuja taxa de variação é aproximadamente o valor de g no ponto x.

Passo 3

Generalização com limite superior dependente de x: se
H(x)=\int_{a}^{u(x)} g(t)\,dt,
defina G(u)=\int_{a}^{u} g(t)\,dt. Pelo item anterior G'(u)=g(u). Aplicando a regra da cadeia, obtemos
H'(x)=G'(u(x))\cdot u'(x)=g\big(u(x)\big)\,u'(x).
Então, na prática, quando o limite superior é uma função u(x), basta avaliar a integranda em t=u(x) e multiplicar por u'(x).

Passo 4

Verificação das hipóteses: a função integranda é g(t)=e^{t^{3}}. Essa função é contínua para todo t (exponencial de polinômio é contínua), logo podemos aplicar a fórmula do passo anterior sem problema.

Passo 5

Aplicando ao caso dado. Aqui u(x)=x^{2} e g(t)=e^{t^{3}}. Pela fórmula do passo 3:
f'(x)=g\big(u(x)\big)\,u'(x)=e^{\big(u(x)\big)^{3}}\cdot \frac{d}{dx}\big(x^{2}\big).
Calculemos cada parte: \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}\big)=2x e \big(u(x)\big)^{3}=(x^{2})^{3}=x^{6}. Portanto
f'(x)=2x\,e^{x^{6}}.

Passo 6

Comentário rápido e motivador: o passo-chave é reconhecer que o limite superior é x^{2}, então o Teorema Fundamental dá o integrando avaliado em x^{2} e a regra da cadeia traz o fator 2x. Se fosse o limite inferior variável, haveria um sinal negativo; aqui é limite superior, então sem sinal negativo. Está feito — e dá para aplicar essa receita mentalmente em muitas questões parecidas.

Resposta

f'(x)=2x\,e^{x^{6}}

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