Calcule as integrais pelo Teorema Fundamental do Cálculo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a(s) integral(is) pelo Teorema Fundamental do Cálculo. Ou seja, aqui queremos obter a derivada de
em relação a
(isto é,
), usando o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.
Passo 2
Lembrete do Teorema Fundamental do Cálculo (forma útil para derivadas): se
é definida por
e
é contínua, então
Intuição simples: variar o limite superior em
acrescenta uma “fatia” pequena da área cuja taxa de variação é aproximadamente o valor de
no ponto
.
Passo 3
Generalização com limite superior dependente de
: se
defina
. Pelo item anterior
. Aplicando a regra da cadeia, obtemos
Então, na prática, quando o limite superior é uma função
, basta avaliar a integranda em
e multiplicar por
.
Passo 4
Verificação das hipóteses: a função integranda é
. Essa função é contínua para todo
(exponencial de polinômio é contínua), logo podemos aplicar a fórmula do passo anterior sem problema.
Passo 5
Aplicando ao caso dado. Aqui
e
. Pela fórmula do passo 3:
Calculemos cada parte:
e
. Portanto
Passo 6
Comentário rápido e motivador: o passo-chave é reconhecer que o limite superior é
, então o Teorema Fundamental dá o integrando avaliado em
e a regra da cadeia traz o fator
. Se fosse o limite inferior variável, haveria um sinal negativo; aqui é limite superior, então sem sinal negativo. Está feito — e dá para aplicar essa receita mentalmente em muitas questões parecidas.