Calcule as integrais trigonométricas:
\int \operatorname{sen} 5 x \operatorname{sen} 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de
\sin 5x \,\sin 3x
em x. O conteúdo necessário é a identidade trigonométrica de produto-para-soma.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin A\,\sin B = \frac{\cos(A - B) - \cos(A + B)}{2}
com A=5x e B=3x, obtendo
\sin 5x\,\sin 3x = \frac{\cos(5x-3x) - \cos(5x+3x)}{2} = \frac{\cos 2x - \cos 8x}{2}.
Logo,
\int \sin 5x\,\sin 3x\,dx = \frac{1}{2}\int\bigl(\cos 2x - \cos 8x\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos termo a termo. Sabemos que
\int \cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}, \qquad \int \cos 8x\,dx = \frac{\sin 8x}{8}.
Substituindo,
\frac{1}{2}\int\bigl(\cos 2x - \cos 8x\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{\sin 2x}{2} - \frac{\sin 8x}{8}\Bigr) + C = \frac{\sin 2x}{4} - \frac{\sin 8x}{16} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{\sin 2x}{4} - \frac{\sin 8x}{16} + C

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