Usando a técnica de integração por partes, calcule as integrais a seguir.
\int e^{-x} \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{-x}\sin x\,dx
usando a técnica de integração por partes. Como ao aplicar essa técnica a mesma integral reaparece, vamos precisar fazer duas aplicações e depois resolver uma equação para a integral original.

Passo 2

Definimos na primeira aplicação
u = \sin x,\quad dv = e^{-x}dx
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du = \cos x\,dx,\quad v = \int e^{-x}dx = -e^{-x}.
Pela fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du
obtemos
\int e^{-x}\sin x\,dx = -e^{-x}\sin x + \int e^{-x}\cos x\,dx.

Passo 3

Para calcular
\int e^{-x}\cos x\,dx
fazemos outra parte por partes com
u_2 = \cos x,\quad dv_2 = e^{-x}dx
então
du_2 = -\sin x\,dx,\quad v_2 = -e^{-x}.
Aplicando de novo
\int e^{-x}\cos x\,dx = u_2v_2 - \int v_2\,du_2 = -e^{-x}\cos x - \int(-e^{-x})(- \sin x)\,dx = -e^{-x}\cos x - \int e^{-x}\sin x\,dx.

Passo 4

Chamando a integral original de I, temos
I = \int e^{-x}\sin x\,dx = -e^{-x}\sin x + \bigl(-e^{-x}\cos x - I\bigr).
Isto é
I = -e^{-x}\sin x - e^{-x}\cos x - I \quad\Longrightarrow\quad 2I = -e^{-x}(\sin x + \cos x) \quad\Longrightarrow\quad I = -\frac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) + C.

Resposta

\int e^{-x}\sin x\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-x}(\sin x + \cos x) + C.

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