Calcule as integrais trigonométricas:
\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen} 3 x \cos 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi/2}\sin(3x)\cos(2x)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a identidade produto-para-soma de funções trigonométricas.

Passo 2

Usamos a identidade
\sin A\cos B = \frac12\bigl[\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr].
Substituindo A=3x e B=2x, obtemos
\sin(3x)\cos(2x) = \frac12\bigl[\sin(5x)+\sin(x)\bigr].

Passo 3

Logo a integral vira
\int_{0}^{\pi/2}\sin(3x)\cos(2x)\,dx = \frac12\int_{0}^{\pi/2}\bigl[\sin(5x)+\sin(x)\bigr]\,dx.

Passo 4

Vamos achar a antiderivada de cada termo:
a antiderivada de \sin(5x) é -\tfrac1{5}\cos(5x) e de \sin(x) é -\cos(x). Logo,
\int\bigl[\sin(5x)+\sin(x)\bigr]\,dx = -\frac1{5}\cos(5x) - \cos(x) + C.
Multiplicando por \tfrac12, uma primitiva é
F(x) = -\frac1{10}\cos(5x) - \frac12\cos(x).

Passo 5

Avaliaremos F(x) nos limites 0 e \pi/2:
F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\frac1{10}\cos\!\bigl(5\cdot\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \frac12\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = -\frac1{10}\cdot 0 - \frac12\cdot0 = 0,
F(0) = -\frac1{10}\cos(0) - \frac12\cos(0) = -\frac1{10}\cdot1 - \frac12\cdot1 = -\frac{1}{10} - \frac{5}{10} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}.

Passo 6

A integral definida vale
F\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) - F(0) = 0 - \Bigl(-\frac{3}{5}\Bigr) = \frac{3}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{5}

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