Calcule as integrais triplas abaixo.
, onde
é limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
e
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o sólido limitado pelas superfícies
– o cilindro parabólico ,
– o plano (implícito para fechar o sólido),
– os planos e
.
Este é um problema de integração iterada em coordenadas cartesianas; vamos escolher a ordem .
– o cilindro parabólico
– o plano
– os planos
Este é um problema de integração iterada em coordenadas cartesianas; vamos escolher a ordem
Passo 2
Primeiro, determinamos os limites de integração:
Para que faça sentido, precisamos de
, ou seja
.
Assim
Para que
Assim
A integral fica
Passo 3
Integramos em
primeiro, tratando
como constante em relação a
:
Logo
Passo 4
Agora separamos a integral em
e em
:
então
Passo 5
Precisamos calcular
- Para a primeira parte:
- Para a segunda, usamos integração por partes ou a fórmula conhecida
Logo
Subtraindo,
Portanto