Calcule as integrais triplas abaixo.
\iiint_{E} x^{2} e^{y} d V, onde E é limitado pelo cilindro parabólico z=1-y^{2} e pelos planos x=0 e x=1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E} x^{2}e^{y}\,dV
onde E é o sólido limitado pelas superfícies
– o cilindro parabólico z = 1 - y^{2},
– o plano z=0 (implícito para fechar o sólido),
– os planos x=0 e x=1.
Este é um problema de integração iterada em coordenadas cartesianas; vamos escolher a ordem dz\,dy\,dx.

Passo 2

Primeiro, determinamos os limites de integração:
Para que 0 \le z \le 1 - y^{2} faça sentido, precisamos de 1 - y^{2}\ge0, ou seja -1\le y\le1.
Assim
0 \le x \le 1,\quad -1 \le y \le 1,\quad 0 \le z \le 1 - y^{2}.
A integral fica
\iiint_{E} x^{2}e^{y}\,dV =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=-1}^{1}\!\int_{z=0}^{\,1-y^{2}} x^{2}e^{y}\,dz\,dy\,dx.

Passo 3

Integramos em z primeiro, tratando x^{2}e^{y} como constante em relação a z:
\int_{0}^{\,1-y^{2}} x^{2}e^{y}\,dz = x^{2}e^{y}\,\bigl[z\bigr]_{0}^{1-y^{2}} = x^{2}e^{y}\,(1 - y^{2}).
Logo
\iiint_{E}x^{2}e^{y}\,dV =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=-1}^{1} x^{2}e^{y}(1-y^{2})\,dy\,dx.

Passo 4

Agora separamos a integral em x e em y:
\int_{x=0}^{1}x^{2}\,dx =\frac{x^{3}}{3}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{3},
então
\iiint_{E}x^{2}e^{y}\,dV =\frac{1}{3}\,\int_{y=-1}^{1}e^{y}(1-y^{2})\,dy.

Passo 5

Precisamos calcular
I=\int_{-1}^{1}e^{y}(1-y^{2})\,dy =\int_{-1}^{1}e^{y}\,dy \;-\;\int_{-1}^{1}y^{2}e^{y}\,dy.
  1. Para a primeira parte:
\int_{-1}^{1}e^{y}\,dy =\bigl[e^{y}\bigr]_{-1}^{1} =e - e^{-1}.
  1. Para a segunda, usamos integração por partes ou a fórmula conhecida
\int y^{2}e^{y}\,dy =e^{y}(y^{2}-2y+2)+C.
Logo
\int_{-1}^{1}y^{2}e^{y}\,dy =\Bigl[e^{y}(y^{2}-2y+2)\Bigr]_{y=-1}^{y=1} =\bigl[e\cdot1\bigr]-\bigl[e^{-1}\cdot5\bigr] =e - 5e^{-1}.
Subtraindo,
I=(e - e^{-1}) - (e - 5e^{-1}) =4e^{-1}.
Portanto
\iiint_{E}x^{2}e^{y}\,dV =\frac{1}{3}\,I =\frac{1}{3}\cdot 4e^{-1} =\frac{4}{3e}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3e}

Exercícios relacionados