Utilize a integral tripla para determinar o volume das regiões E dadas abaixo.
E é o sólido limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=9 e pelos planos y+z=5 e z=1;

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido E limitado pelo cilindro
x^{2}+y^{2}=9
e pelos planos
y+z=5
e z=1. O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla, e vamos precisar expressar a região em coordenadas cartesianas, integrar em z, depois passar a coordenadas polares para a parte em x,y.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) dentro do disco
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 9\},
a variável z varia entre o plano inferior z=1 e o plano superior z=5-y. Logo o volume é
V = \iiint_{E} dV = \iint_{D}\Bigl[(5 - y) - 1\Bigr]\,dA = \iint_{D}(4 - y)\,dA.

Passo 3

Para calcular
\iint_{D}(4 - y)\,dA
é conveniente usar coordenadas polares
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad dA = r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le 3 e 0\le \theta\le 2\pi. Substituindo:
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\bigl(4 - r\sin\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{3}\bigl(4r - r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr = \Bigl[2r^{2} - \tfrac{1}{3}r^{3}\sin\theta\Bigr]_{0}^{3} = 2\cdot 9 - \tfrac{1}{3}\cdot27\,\sin\theta = 18 - 9\sin\theta.
Em seguida integramos em \theta:
V = \int_{0}^{2\pi}\bigl(18 - 9\sin\theta\bigr)\,d\theta = 18\int_{0}^{2\pi}d\theta \;-\;9\int_{0}^{2\pi}\sin\theta\,d\theta = 18\cdot 2\pi \;-\;9\cdot 0 = 36\pi.

Resposta

O volume do sólido E é 36\pi.

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