Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
\int_{1}^{+\infty} \frac{d x}{x^{3}+x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^{3}+x}\,,
que converge se o limite do antiderivado for finito quando o limite superior tende a +\infty. Vamos usar decomposição em frações parciais e, em seguida, avaliar o comportamento no infinito.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{3}+x = x\,(x^{2}+1).
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{1}{x\,(x^{2}+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^{2}+1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+1) obtemos
1 = A\,(x^{2}+1) + (Bx+C)\,x = (A+B)\,x^{2} + C\,x + A.
Comparando coeficientes de x^{2}, x e termo constante:
A + B = 0,\quad C = 0,\quad A = 1.
Logo
A = 1,\quad B = -1,\quad C = 0,
e a integral fica
\int_{1}^{t} \frac{dx}{x^{3}+x} = \int_{1}^{t}\Bigl(\frac{1}{x} - \frac{x}{x^{2}+1}\Bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos o antiderivado:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x,\qquad \int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \tfrac12 \ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Portanto, uma primitiva é
F(x) = \ln x \;-\;\tfrac12 \ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 5

Avaliação do limite quando t \to +\infty:
\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^{3}+x} = \lim_{t\to\infty}\bigl[F(t)-F(1)\bigr] = \lim_{t\to\infty}\Bigl(\ln t - \tfrac12\ln(t^{2}+1)\Bigr) \;-\;\bigl(0 - \tfrac12\ln2\bigr).
Para t\to\infty vale
\ln t - \tfrac12\ln(t^{2}+1) = \tfrac12\ln\!\bigl(\tfrac{t^{2}}{t^{2}+1}\bigr) \longrightarrow \tfrac12\ln1 = 0,
logo o resultado final é
0 + \tfrac12\ln2 = \frac{1}{2}\ln2.

Resposta

\int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^{3}+x} = \frac{1}{2}\ln2.

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