Calcule as integrais triplas:
, onde
é o sólido que está dentro do cilindro
, acima do plano
e entre
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
onde a região
é definida por:
-
está dentro do cilindro (ou seja, ); -
está acima do plano (ou seja, ); -
está “entre” as superfícies dadas por .
O que o enunciado pergunta: calcular o valor numérico da integral
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A projeção horizontal de
no plano é o disco . - As superfícies
equivalem a e . - Como temos também
, a coordenada em fica entre e a envoltória superior dada por (veremos o porquê nos próximos passos).
Passo 2
Interpretar corretamente a condição
.
Da equação segue
. A região “entre” essas superfícies significa os pontos com
Da equação
Mas temos também a condição
. Combinando, para um dado
na base,
varia como
Explicando com mais calma: para cada linha vertical sobre um ponto
do disco, os planos
e
delimitam um intervalo simétrico em torno de
; cortar por
deixa apenas a metade superior, ou seja
vai de
até
. Isso vale para todo
.
Passo 3
Escolha de coordenadas e fórmula do jacobiano.
Como a projeção no plano é um disco
, é natural usar coordenadas cilíndricas:
Como a projeção no plano
com
,
. O elemento de volume transforma como
Também exprimimos a função integranda em cilíndricas:
Passo 4
Determinar os limites em cilíndricas.
- Pelo cilindro:
. - Ângulo completo:
. - Para
: conforme o Passo 2, .
Escrevendo a integral em cilíndricas:
Dentro da integral o integrando é
multiplicado pelo jacobiano
, logo
multiplicado por
.
Passo 5
Integrar em
(a integral mais simples).
A integral em apenas multiplica por o comprimento do intervalo em
, que é
. Assim
A integral em
Portanto a integral reduz-se a
Passo 6
Separar e calcular a integral em
.
A função se separa entre e
. Primeiro a integral em
:
A função se separa entre
Logo a integral total fica
Observe que
.
Passo 7
Calcular a integral angular
.
Usamos simetria. A função tem período
e é simétrica em quadrantes; assim
Usamos simetria. A função
pois em
temos
e em cada um dos quatro quadrantes correspondentes o valor absoluto replica a mesma integral.
Calcule agora
. Escrevemos
e fazemos a substituição
,
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Portanto
Passo 8
Combinar os resultados e obter o valor final.
Substituindo na expressão do Passo 6:
Substituindo na expressão do Passo 6: