Calcule as integrais triplas:
\iiint_{E} x^{2} d V, onde E é o sólido que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=1, acima do plano z=0 e entre z^{2}=4 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\iiint_{E} x^{2}\,dV,
onde a região E é definida por:
  • E está dentro do cilindro \,x^{2}+y^{2}=1\, (ou seja, \,x^{2}+y^{2}\le 1\,);
  • E está acima do plano \,z=0 (ou seja, z\ge 0);
  • E está “entre” as superfícies dadas por \,z^{2}=4x^{2}\,.
O que o enunciado pergunta: calcular o valor numérico da integral \displaystyle \iiint_{E} x^{2}\,dV.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A projeção horizontal de E no plano xy é o disco \,x^{2}+y^{2}\le 1.
  • As superfícies \,z^{2}=4x^{2} equivalem a \,z=2x e \,z=-2x.
  • Como temos também z\ge 0, a coordenada z em E fica entre z=0 e a envoltória superior dada por \,z=2|x|\, (veremos o porquê nos próximos passos).

Passo 2

Interpretar corretamente a condição \,z^{2}=4x^{2}.
Da equação \,z^{2}=4x^{2} segue \,z=\pm 2x. A região “entre” essas superfícies significa os pontos com
-2|x|\le z \le 2|x|.
Mas temos também a condição z\ge 0. Combinando, para um dado (x,y) na base, z varia como
0 \le z \le 2|x|.
Explicando com mais calma: para cada linha vertical sobre um ponto (x,y) do disco, os planos z=2x e z=-2x delimitam um intervalo simétrico em torno de z=0; cortar por z\ge0 deixa apenas a metade superior, ou seja z vai de 0 até 2|x|. Isso vale para todo x\in[-1,1].

Passo 3

Escolha de coordenadas e fórmula do jacobiano.
Como a projeção no plano xy é um disco \,x^{2}+y^{2}\le 1, é natural usar coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,
com r\ge 0, \theta\in[0,2\pi). O elemento de volume transforma como
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Também exprimimos a função integranda em cilíndricas:
x^{2} = (r\cos\theta)^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta.

Passo 4

Determinar os limites em cilíndricas.
  • Pelo cilindro: 0\le r\le 1.
  • Ângulo completo: 0\le\theta\le 2\pi.
  • Para z: conforme o Passo 2, 0\le z\le 2|x|=2r|\cos\theta|.
Escrevendo a integral em cilíndricas:
\iiint_{E} x^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{2r|\cos\theta|} \big(r^{2}\cos^{2}\theta\big)\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Dentro da integral o integrando é r^{2}\cos^{2}\theta multiplicado pelo jacobiano r, logo r^{3}\cos^{2}\theta multiplicado por dz.

Passo 5

Integrar em z (a integral mais simples).
A integral em z apenas multiplica por o comprimento do intervalo em z, que é 2r|\cos\theta|. Assim
\int_{0}^{2r|\cos\theta|} r^{3}\cos^{2}\theta\,dz = r^{3}\cos^{2}\theta\cdot\big(2r|\cos\theta|\big) = 2\,r^{4}\cos^{2}\theta\,|\cos\theta|.
Portanto a integral reduz-se a
\iiint_{E} x^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} 2\,r^{4}\cos^{2}\theta\,|\cos\theta|\,dr\,d\theta.

Passo 6

Separar e calcular a integral em r.
A função se separa entre r e \theta. Primeiro a integral em r:
\int_{0}^{1} 2\,r^{4}\,dr = 2\cdot\left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{5} = \frac{2}{5}.
Logo a integral total fica
\iiint_{E} x^{2}\,dV = \frac{2}{5}\,\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta\,|\cos\theta|\,d\theta.
Observe que \cos^{2}\theta\,|\cos\theta|=|\cos^{3}\theta|.

Passo 7

Calcular a integral angular \displaystyle \int_{0}^{2\pi} |\cos^{3}\theta|\,d\theta.
Usamos simetria. A função |\cos\theta| tem período \pi e é simétrica em quadrantes; assim
\int_{0}^{2\pi} |\cos^{3}\theta|\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi} |\cos^{3}\theta|\,d\theta = 4\int_{0}^{\pi/2} \cos^{3}\theta\,d\theta,
pois em [0,\pi/2] temos \cos\theta\ge0 e em cada um dos quatro quadrantes correspondentes o valor absoluto replica a mesma integral.
Calcule agora \int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta. Escrevemos \cos^{3}\theta=\cos^{2}\theta\cos\theta=(1-\sin^{2}\theta)\cos\theta e fazemos a substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta. Quando \theta vai de 0 a \pi/2, u vai de 0 a 1. Assim
\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}\theta\,d\theta = \int_{0}^{1} (1-u^{2})\,du = \left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Portanto
\int_{0}^{2\pi} |\cos^{3}\theta|\,d\theta = 4\cdot\frac{2}{3} = \frac{8}{3}.

Passo 8

Combinar os resultados e obter o valor final.
Substituindo na expressão do Passo 6:
\iiint_{E} x^{2}\,dV = \frac{2}{5}\cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{15}.

Resposta

\dfrac{16}{15}

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