Calcular as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituiçāo:
\int \frac{\operatorname{sec} \left(\frac{1}{y}\right)}{y^{2}} d y

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{\operatorname{sec}\!\left(\frac{1}{y}\right)}{y^{2}}\,dy.
Informações dadas:
  • A integranda é \dfrac{\operatorname{sec}\!\left(\frac{1}{y}\right)}{y^{2}}.
  • Há uma imagem anexa (um rascunho manuscrito); não há outros dados numéricos no enunciado que precisem ser usados para resolver a integral.

Passo 2

Ideia de método: a parte \frac{1}{y} dentro do \operatorname{sec} é uma “função interna”. Quando temos uma função composta \operatorname{sec}(\text{algo}) multiplicada por algo que lembra a derivada da parte interna, a substituição simples costuma resolver. Vamos fazer a substituição natural
u=\frac{1}{y}.

Passo 3

Calcular du em termos de dy. Escrevendo u=y^{-1}, derivamos:
du = -1\cdot y^{-2}\,dy = -\frac{1}{y^{2}}\,dy.
Isto significa que
\frac{1}{y^{2}}\,dy = -\,du.

Passo 4

Substituir na integral: com u=\dfrac{1}{y} e \dfrac{1}{y^{2}}\,dy=-du, a integral fica
\int \frac{\operatorname{sec}\!\left(\frac{1}{y}\right)}{y^{2}}\,dy = \int \operatorname{sec}(u)\cdot\big(-du\big) = -\int \operatorname{sec}(u)\,du.

Passo 5

Agora precisamos calcular \int \operatorname{sec}(u)\,du. Vou mostrar a técnica clássica (multiplicar por \dfrac{\operatorname{sec} u+\tan u}{\operatorname{sec} u+\tan u}) e transformá-la numa integral do tipo \int \frac{dv}{v}.
Começamos por escrever
\int \operatorname{sec} u\,du = \int \operatorname{sec} u\cdot\frac{\operatorname{sec} u+\tan u}{\operatorname{sec} u+\tan u}\,du.
No numerador obtemos
\operatorname{sec} u(\operatorname{sec} u+\tan u)=\operatorname{sec}^{2}u+\operatorname{sec} u\tan u.
Agora faça a substituição auxiliar v=\operatorname{sec} u+\tan u. Derivando v em relação a u
dv = (\operatorname{sec} u\tan u+\operatorname{sec}^{2}u)\,du.
Portanto o numerador é exatamente dv, e a integral transforma-se em
\int \operatorname{sec} u\,du = \int \frac{dv}{v} = \ln\!\big|v\big| + C = \ln\!\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big| + C.

Passo 6

Voltando à nossa integral com o sinal negativo:
-\int \operatorname{sec}(u)\,du = -\ln\!\big|\operatorname{sec} u+\tan u\big| + C.

Passo 7

Re-substituir u=\dfrac{1}{y}. A primitiva da integral original é
-\ln\!\left|\operatorname{sec}\!\left(\frac{1}{y}\right)+\tan\!\left(\frac{1}{y}\right)\right| + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\displaystyle -\ln\!\left|\operatorname{sec}\!\left(\frac{1}{y}\right)+\tan\!\left(\frac{1}{y}\right)\right|+C

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