Calcular as seguintes integrais indefinidas pelo método da substituiçāo:
\int \frac{x^{2}-1}{\left(x^{3}-3 x+1\right)^{6}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida abaixo:
\int \frac{x^{2}-1}{\left(x^{3}-3 x+1\right)^{6}}\,dx.
Informações dadas e o que se quer:
  • A função a integrar é \dfrac{x^{2}-1}{\left(x^{3}-3 x+1\right)^{6}}.
  • A variável de integração é x.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, um F(x) tal que F'(x) seja a função integranda, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Escolher uma substituição que simplifique a expressão. Observação útil (que serve como dica para a substituição): o denominador é uma função composta \left(x^{3}-3x+1\right)^6 e a derivada do interior x^{3}-3x+1 é proporcional ao numerador x^{2}-1. Isso sugere a substituição
u = x^{3}-3x+1.
Calcular du em termos de dx:
\frac{du}{dx} = 3x^{2}-3=3(x^{2}-1),
então
du = 3(x^{2}-1)\,dx\quad\Rightarrow\quad (x^{2}-1)\,dx=\frac{du}{3}.

Passo 3

Fazer a substituição na integral. Substituindo u e (x^{2}-1)\,dx obtemos:
\int \frac{x^{2}-1}{\left(x^{3}-3 x+1\right)^{6}}\,dx = \int \frac{1}{u^{6}}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{-6}\,du.

Passo 4

Integrar usando a regra do poder para integrais: para n\neq-1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-6, logo
\int u^{-6}\,du=\frac{u^{-5}}{-5}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{3} temos
\frac{1}{3}\int u^{-6}\,du=\frac{1}{3}\cdot\frac{u^{-5}}{-5}+C =-\frac{1}{15}u^{-5}+C.

Passo 5

Voltar à variável x substituindo u=x^{3}-3x+1:
-\frac{1}{15}u^{-5}+C=-\frac{1}{15}\left(x^{3}-3x+1\right)^{-5}+C.

Passo 6

Verificação rápida (derivação da primitiva para conferir): derivando
F(x)=-\frac{1}{15}\left(x^{3}-3x+1\right)^{-5}
tem-se
F'(x)=-\frac{1}{15}\cdot(-5)\left(x^{3}-3x+1\right)^{-6}\cdot(3x^{2}-3) =\frac{1}{3}(3x^{2}-3)\left(x^{3}-3x+1\right)^{-6} =(x^{2}-1)\left(x^{3}-3x+1\right)^{-6},
que é exatamente a função integranda. A primitiva está correta.

Resposta

-\dfrac{1}{15}\left(x^{3}-3x+1\right)^{-5}+C

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