Calcule as integrais triplas:
integral1^2 integral0^1 integral0^y+2 3 y e^x d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integralx=1^2integraly=0^1integralz=0^y+23y,e^x,dz,dy,dx
Aqui vamos usar o Teorema de Fubini para integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos em z, lembrando que 3y,e^x não depende de z:
integral0^y+23y,e^x,dz =3y,e^x,l[zr]0^y+2 =3y,e^x,(y+2)
Logo a integral vira
integral1^2integral0^13y,(y+2),e^x,dy,dx

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^13y,(y+2),e^x,dy =3e^xintegral0^1(y^2+2y),dy =3e^xl[tfracy^33+y^2r]0^1 =3e^xl(tfrac13+1r) =4e^x
Assim reduzimos a integral a
integral1^24e^x,dx

Passo 4

Finalmente, integramos em x:
integral1^24e^x,dx =4l[e^xr]1^2 =4l(e^2-e^1r)

Resposta

4l(e^2-er)

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