Dos métodos numéricos estudados para encontrar zeros de funções, quais exigem que seja definido um intervalo onde supostamente está definido o zero da função? Quais métodos necessitam de uma aproximação inicial para encontrar a raiz da equação, e quais necessitam duas aproximações iniciais? Liste estes métodos relacionando suas características principais.

Passo 1

O problema pede para classificar os métodos numéricos de busca de raízes segundo a necessidade de condição inicial. Vamos dividir em três grupos: métodos que precisam de um intervalo [a,b], métodos que só exigem uma aproximação inicial x0 e métodos que exigem duas aproximações iniciais x0,x1.

Passo 2

MÉTODOS BASEADOS EM INTERVALO
Estes métodos requerem dois pontos a e b tais que f(a),f(b)<0, garantindo que exista pelo menos uma raiz no intervalo pela propriedade do valor intermediário. São robustos e convergem de forma garantida dentro do intervalo. Exemplos:
bul<=t Bisseção: divide o intervalo ao meio a cada iteração, convergência linear;
bul<=t Posição falsa (Regula falsi): utiliza a reta secante sobre [a,b] para aproximar a raiz, convergência linear mas pode ficar estacionário em um dos extremos.

Passo 3

MÉTODOS COM UMA APROXIMAÇÃO INICIAL
Chamados métodos “abertos” ou “sem dicotomia”, usam apenas x0 e não necessitam de bracketing. A convergência não é garantida para qualquer x0, mas podem ser muito rápidos localmente. Exemplos:
bul<=t Newton–Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn),
requere f', convergência quadrática se x0 estiver próximo da raiz;
bul<=t Iteração de ponto fixo:
xn+1=g(xn)
, exige definir g tal que g'(x) seja contração no entorno da raiz, convergência linear.

Passo 4

MÉTODOS COM DUAS APROXIMAÇÕES INICIAIS
Não exigem derivadas, mas usam dois palpites x0 e x1. Convergem geralmente mais rápido que bisseção, porém sem garantia global. Exemplo:
bul<=t Secante:
xn+1 = xn - f(xn),xn - xn-1f(xn)-f(xn-1),
convergência superlinear de ordem approx1,618.

Resposta

Métodos que exigem intervalo [a,b] com f(a) f(b) < 0
bul<=t Bisseção: divisão pela metade, convergência linear, garantido e robusto
bul<=t Posição falsa: usa reta secante em [a,b] , convergência linear, pode travar num extremo
Métodos que necessitam de uma aproximação inicial x0
bul<=t Newton–Raphson: requer f'(x) , convergência quadrática local
bul<=t Iteração de ponto fixo: define xn+1 = g(xn) , convergência linear sob condição de contração
Métodos que necessitam de duas aproximações iniciais x0, x1
bul<=t Secante: derivada aproximada pela diferença, convergência superlinear ( approx 1,618 ), sem garantia global

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