Dos métodos numéricos estudados para encontrar zeros de funções, quais exigem que seja definido um intervalo onde supostamente está definido o zero da função? Quais métodos necessitam de uma aproximação inicial para encontrar a raiz da equação, e quais necessitam duas aproximações iniciais? Liste estes métodos relacionando suas características principais.
Passo 1
O problema pede para classificar os métodos numéricos de busca de raízes segundo a necessidade de condição inicial. Vamos dividir em três grupos: métodos que precisam de um intervalo
, métodos que só exigem uma aproximação inicial
e métodos que exigem duas aproximações iniciais
.
Passo 2
MÉTODOS BASEADOS EM INTERVALO
Estes métodos requerem dois pontos e
tais que
, garantindo que exista pelo menos uma raiz no intervalo pela propriedade do valor intermediário. São robustos e convergem de forma garantida dentro do intervalo. Exemplos:
Bisseção: divide o intervalo ao meio a cada iteração, convergência linear;
Posição falsa (Regula falsi): utiliza a reta secante sobre
para aproximar a raiz, convergência linear mas pode ficar estacionário em um dos extremos.
Estes métodos requerem dois pontos
Passo 3
MÉTODOS COM UMA APROXIMAÇÃO INICIAL
Chamados métodos “abertos” ou “sem dicotomia”, usam apenas e não necessitam de bracketing. A convergência não é garantida para qualquer
, mas podem ser muito rápidos localmente. Exemplos:
Newton–Raphson:
Chamados métodos “abertos” ou “sem dicotomia”, usam apenas
requere
, convergência quadrática se
estiver próximo da raiz;
Iteração de ponto fixo:
, exige definir
tal que
seja contração no entorno da raiz, convergência linear.
Passo 4
MÉTODOS COM DUAS APROXIMAÇÕES INICIAIS
Não exigem derivadas, mas usam dois palpites e
. Convergem geralmente mais rápido que bisseção, porém sem garantia global. Exemplo:
Secante:
Não exigem derivadas, mas usam dois palpites
convergência superlinear de ordem
.
Resposta
Métodos que exigem intervalo
com
Métodos que necessitam de uma aproximação inicial
Métodos que necessitam de duas aproximações iniciais