Encontre a área das superfícies.
Do helicóide definido por r(u, v)= u cos v i+u sin v j+v k, para 0 <= u <= 5 e
0 <= v <= 4 pi.

Passo 1

Resumo do enunciado: A gente quer achar a área da superfície do helicóide dado por r(u,v) = (ucos v,,usin v,,v) com 0<= u<=5 e 0<= v<=4pi. O conteúdo aqui é área de superfície paramétrica: a gente vai precisar calcular o produto vetorial das derivadas parciais e integrar a norma.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais ru e rv.

Passo 3

As derivadas são:
ru=(cos v,,sin v,,0)
rv=(-usin v,,ucos v,,1)

Passo 4

Fazer o produto vetorial rutimesrv.
rutimes rv=(sin v,,-cos v,,u)

Passo 5

Calcular a norma do vetor normal:
|rutimes rv|=raizsin^2v+(-cos v)^2+u^2=raiz1+u^2

Passo 6

Montar a integral da área:
Área=integralv=0^4piintegralu=0^5raiz1+u^2,du,dv Á
Como não depende de v, separa:
Área=4piintegral0^5raiz1+u^2,du Á

Passo 7

Resolver a integral em u:
integral0^5raiz1+u^2,du=[tfracu2raiz1+u^2+tfrac12lnl(u+raiz1+u^2r)]0^5=tfrac52raiz26+tfrac12ln(5+raiz26)

Passo 8

Multiplicar pelo fator 4pi e simplificar:
Área=4pil(tfrac52raiz26+tfrac12ln(5+raiz26)r)=2pil(5raiz26+ln(5+raiz26)r) Á

Resposta

A área da superfície do helicoide é 2pil(5raiz26+ln(5+raiz26)r).

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