Calcule as integrais usando frações parciais
\int \frac{2 x^{2}-x+4}{x^{3}+4 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2 x^{2}-x+4}{x^{3}+4 x}\,dx
usando frações parciais. Informação relevante dada pelo enunciado:
  • O numerador é \,2x^{2}-x+4\,.
  • O denominador é \,x^{3}+4x\,.
    A tarefa é decompor a função racional em frações mais simples (frações parciais) e integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro fatoro o denominador para ver sua estrutura básica. Extraindo x como fator comum:
x^{3}+4x = x(x^{2}+4).
Observação: x é um fator linear e x^{2}+4 é um quadrático irredutível sobre os reais (não tem raízes reais), então a decomposição em frações parciais terá um termo do tipo \dfrac{A}{x} e um termo do tipo \dfrac{Bx+C}{x^{2}+4}.

Passo 3

Escrevo a forma geral da decomposição compatível com a fatorização:
\frac{2 x^{2}-x+4}{x^{3}+4 x}=\frac{A}{x}+\frac{B x+C}{x^{2}+4},
onde A,B,C são constantes a determinar. Explicação rápida do porquê: para cada fator linear simples x aparece \dfrac{A}{x}; para o fator quadrático irreduzível x^{2}+4 aparece um numerador linear Bx+C, que é o grau menor que o denominador.

Passo 4

Multiplico ambos os lados por x(x^{2}+4) para obter uma identidade polinomial sem denominadores:
2x^{2}-x+4 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)x.
Agora desenvolvo o lado direito:
A(x^{2}+4) + (Bx+C)x = A x^{2} + 4A + B x^{2} + C x = (A+B)x^{2} + C x + 4A.

Passo 5

Comparo coeficientes dos polinômios em ambos os lados (identidade para todo x\)). Do lado esquerdo os coeficientes são: coeficiente de \(x^{2}\) é \(2\), de \(x\) é \(-1\), termo constante é \(4\). Igualando: \[\begin{cases} A + B = 2,\\[4pt] C = -1,\\[4pt] 4A = 4. \end{cases}
Resolvo as equações em ordem:
  • De 4A=4\] vem \(A=1.
  • Com A=1 e A+B=2 vem B=1.
  • Já tinha C=-1.
    Logo A=1, B=1, C=-1.]

Passo 6

Substituo A,B,C na decomposição inicial. Assim
\frac{2 x^{2}-x+4}{x^{3}+4 x}=\frac{1}{x}+\frac{x-1}{x^{2}+4}.
Para integrar com facilidade separo o segundo termo:
\frac{x-1}{x^{2}+4}=\frac{x}{x^{2}+4}-\frac{1}{x^{2}+4}.

Passo 7

Integro termo a termo:
  1. Para o primeiro termo uso a fórmula básica \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. Portanto
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|.
  1. Para \displaystyle \int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx faço a substituição u=x^{2}+4. Então du=2x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{x}{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{1}{2}\ln u = \frac{1}{2}\ln(x^{2}+4).
Expliquei: essa é a aplicação direta da regra \int \dfrac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|.
  1. Para \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx uso a fórmula padrão \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+a^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C. Aqui a^{2}=4, então a=2. Logo
\int \frac{1}{x^{2}+4}\,dx = \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).
Como no integrando original esse termo aparece com sinal negativo, o resultado será -\tfrac{1}{2}\arctan\!\left(\tfrac{x}{2}\right).

Passo 8

Junto todos os resultados:
\int \frac{2 x^{2}-x+4}{x^{3}+4 x}\,dx = \ln|x| + \frac{1}{2}\ln(x^{2}+4) - \frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right) + C,
onde C é a constante de integração. (Opcionalmente pode-se combinar os dois logaritmos em um só: \ln|x|+\tfrac{1}{2}\ln(x^{2}+4)=\ln\!\big(|x|(x^{2}+4)^{1/2}\big).)

Resposta

\ln|x|+\dfrac{1}{2}\ln(x^{2}+4)-\dfrac{1}{2}\arctan\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C

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