Calcule as integrais usando frações parciais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando frações parciais. Informação relevante dada pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
.
A tarefa é decompor a função racional em frações mais simples (frações parciais) e integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro fatoro o denominador para ver sua estrutura básica. Extraindo
como fator comum:
Observação:
é um fator linear e
é um quadrático irredutível sobre os reais (não tem raízes reais), então a decomposição em frações parciais terá um termo do tipo
e um termo do tipo
.
Passo 3
Escrevo a forma geral da decomposição compatível com a fatorização:
onde
são constantes a determinar. Explicação rápida do porquê: para cada fator linear simples
aparece
; para o fator quadrático irreduzível
aparece um numerador linear
, que é o grau menor que o denominador.
Passo 4
Multiplico ambos os lados por
para obter uma identidade polinomial sem denominadores:
Agora desenvolvo o lado direito:
Passo 5
Comparo coeficientes dos polinômios em ambos os lados (identidade para todo
Resolvo as equações em ordem:
- De .
- Com
e vem . - Já tinha
.
Logo, , .]
Passo 6
Substituo
na decomposição inicial. Assim
Para integrar com facilidade separo o segundo termo:
Passo 7
Integro termo a termo:
- Para o primeiro termo uso a fórmula básica
. Portanto
- Para
faço a substituição . Então , logo . Assim
Expliquei: essa é a aplicação direta da regra
.
- Para
uso a fórmula padrão . Aqui , então . Logo
Como no integrando original esse termo aparece com sinal negativo, o resultado será
.
Passo 8
Junto todos os resultados:
onde
é a constante de integração. (Opcionalmente pode-se combinar os dois logaritmos em um só:
.)