10- (Enem) Pesquisas indicam que o número de bactérias X é duplicado a cada quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade dessa afirmação. Ele usou uma população inicial de 10^{5} bactérias X e encerrou a observação ao final de uma hora. Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de bactérias X se duplica a cada quarto de hora.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente uma coisa:
  • População inicial de bactérias: N_0 = 10^{5}.
  • O número de bactérias dobra a cada quarto de hora (ou seja, a cada 15 minutos ocorre uma duplicação).
  • A observação foi feita durante 1 hora (ou seja, 60 minutos).
    Pergunta implícita (a que vamos responder): qual é a população de bactérias ao final de 1 hora?

Passo 2

Entendendo o modelo discreto de duplicação passo a passo — aula rápida:
  • Duplicar significa multiplicar por 2.
  • Se a duplicação ocorre a cada intervalo fixo de tempo (aqui, a cada 15 minutos), então após n desses intervalos a população será multiplicada por 2^n.
  • Fórmula geral para esse tipo de crescimento por etapas (crescimento geométrico):
N_n = N_0 \cdot 2^{n},
onde N_n é a população após n duplicações e N_0 é a população inicial.
Aqui: explicando as variáveis: N_0 é o número inicial de bactérias; n é o número de períodos de 15 minutos que ocorreram; o expoente 2^{n} representa aplicar a operação “duplicar” n vezes.

Passo 3

Encontrar quantas duplicações ocorreram em 1 hora:
  • Um quarto de hora tem 15 minutos.
  • Uma hora tem 60 minutos.
    Portanto o número de períodos de 15 minutos em 60 minutos é
n = \frac{60}{15} = 4.
Logo houve 4 duplicações no total.

Passo 4

Aplicar a fórmula com N_0 = 10^{5} e n=4:
N_4 = 10^{5}\cdot 2^{4}.
Calcular 2^{4}: 2^{2}=4, 2^{3}=8, 2^{4}=16. Então
N_4 = 10^{5}\cdot 16.

Passo 5

Transformar 16\cdot 10^{5} em notação mais usual:
  • Escrevendo 16 = 1{,}6\times 10^{1} (a vírgula decimal é usada aqui seguindo o padrão).
  • Logo
N_4 = (1{,}6\times 10^{1})\cdot 10^{5} = 1{,}6\times 10^{6}.
Em forma inteira, isso corresponde a 1\,600\,000 bactérias.

Passo 6

Resumo didático para prova (como fazer rápido e sem calculadora):
  • Contar o número de períodos de duplicação: dividir o tempo total pelo tempo da duplicação.
  • Usar N = N_0\cdot 2^{n}.
  • Calcular potências de 2 simples (2, 4, 8, 16, 32, …) e depois multiplicar por N_0.
    Motivação: esse tipo de problema é só potência de 2 vezes a condição inicial — nada de fórmula complicada. Respira, faz a divisão 60/15, calcula 2^4 e multiplica.

Resposta

1{,}6\times10^{6}

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