10- (Enem) Pesquisas indicam que o número de bactérias
é duplicado a cada quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade dessa afirmação. Ele usou uma população inicial de
bactérias
e encerrou a observação ao final de uma hora. Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de bactérias
se duplica a cada quarto de hora.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede claramente uma coisa:
- População inicial de bactérias:
. - O número de bactérias dobra a cada quarto de hora (ou seja, a cada
minutos ocorre uma duplicação). - A observação foi feita durante
hora (ou seja, minutos).
Pergunta implícita (a que vamos responder): qual é a população de bactérias ao final dehora?
Passo 2
Entendendo o modelo discreto de duplicação passo a passo — aula rápida:
- Duplicar significa multiplicar por
. - Se a duplicação ocorre a cada intervalo fixo de tempo (aqui, a cada
minutos), então após desses intervalos a população será multiplicada por . - Fórmula geral para esse tipo de crescimento por etapas (crescimento geométrico):
onde
é a população após
duplicações e
é a população inicial.
Aqui: explicando as variáveis: é o número inicial de bactérias;
é o número de períodos de
minutos que ocorreram; o expoente
representa aplicar a operação “duplicar”
vezes.
Aqui: explicando as variáveis:
Passo 3
Encontrar quantas duplicações ocorreram em
hora:
- Um quarto de hora tem
minutos. - Uma hora tem
minutos.
Portanto o número de períodos deminutos em minutos é
Logo houve
duplicações no total.
Passo 4
Aplicar a fórmula com
e
:
Calcular
:
,
,
. Então
Passo 5
Transformar
em notação mais usual:
- Escrevendo
(a vírgula decimal é usada aqui seguindo o padrão). - Logo
Em forma inteira, isso corresponde a
bactérias.
Passo 6
Resumo didático para prova (como fazer rápido e sem calculadora):
- Contar o número de períodos de duplicação: dividir o tempo total pelo tempo da duplicação.
- Usar
. - Calcular potências de
simples (2, 4, 8, 16, 32, …) e depois multiplicar por .
Motivação: esse tipo de problema é só potência devezes a condição inicial — nada de fórmula complicada. Respira, faz a divisão , calcula e multiplica.