😎 (Uepa) Após uma cobrança de falta, uma bola de futebol descreveu uma trajetória parabólica. Observou-se que a altura h, em metros, da bola variava de acordo com o tempo t, em segundos, após o chute. Considerando que a bola foi chutada no instante
segundo e que a altura máxima atingida por ela foi de 4 metros em 2 segundos do chute, qual a lei matemática que define esta função?
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado fornece duas informações essenciais (peguei tudo do enunciado):
- A altura máxima é
metros no instante segundos. Ou seja, o ponto vértice da parábola é , logo . - A bola foi chutada no instante
. Isso costuma significar que a altura inicial é (chute a partir do chão), então tomamos .
O que o problema pede: determinar a lei matemática
que descreve a altura em função do tempo e escolher a alternativa correta entre as dadas.
Passo 2
Vamos escolher um modelo que já incorpora diretamente o vértice da parábola: a forma vértice (forma canônica) de uma parábola. Essa forma é
onde:
-
é a coordenada do vértice (onde a parábola atinge o máximo ou mínimo), -
é a altura no vértice, -
é um número que determina a “abertura” e o sentido da parábola (se a parábola abre para baixo, se abre para cima).
Aqui sabemos
e
, então a forma fica
Passo 3
Agora usamos a condição
(altura no instante
). Substituindo
na expressão:
Calcule o quadrado:
. Logo:
Passo 4
Resolver a equação para
:
Interpretação:
significa que a parábola abre para baixo, como deve ser para um movimento que tem altura máxima.
Passo 5
Substituindo
na forma vértice:
Passo 6
Expandir para a forma polinomial padrão (para comparar com as alternativas). Primeiro expandir
:
Multiplicando por
e somando
:
Passo 7
Verificação rápida com as condições iniciais:
-
— confirma o máximo. -
— confirma o valor inicial.
Comparando com as alternativas, a que coincide é a alternativa (a).