😎 (Uepa) Após uma cobrança de falta, uma bola de futebol descreveu uma trajetória parabólica. Observou-se que a altura h, em metros, da bola variava de acordo com o tempo t, em segundos, após o chute. Considerando que a bola foi chutada no instante t=0 segundo e que a altura máxima atingida por ela foi de 4 metros em 2 segundos do chute, qual a lei matemática que define esta função? (1,0)(~)
a) h(t)=-t^{2}+4 t
b) h(t)=-2 t^{2}+4 t
c) h(t)=-t^{2}-4 t
d) h(t)=-2 t^{2}-4 t
e) h(t)=-4 t^{2}+2 t

Passo 1

O enunciado fornece duas informações essenciais (peguei tudo do enunciado):
  • A altura máxima é 4 metros no instante t=2 segundos. Ou seja, o ponto vértice da parábola é (t,h)=(2,4), logo h(2)=4.
  • A bola foi chutada no instante t=0. Isso costuma significar que a altura inicial é 0 (chute a partir do chão), então tomamos h(0)=0.
O que o problema pede: determinar a lei matemática h(t) que descreve a altura em função do tempo e escolher a alternativa correta entre as dadas.

Passo 2

Vamos escolher um modelo que já incorpora diretamente o vértice da parábola: a forma vértice (forma canônica) de uma parábola. Essa forma é
h(t)=a\,(t-t_v)^2 + h_v,
onde:
  • t_v é a coordenada t do vértice (onde a parábola atinge o máximo ou mínimo),
  • h_v é a altura no vértice,
  • a é um número que determina a “abertura” e o sentido da parábola (se a<0 a parábola abre para baixo, se a>0 abre para cima).
Aqui sabemos t_v=2 e h_v=4, então a forma fica
h(t)=a\,(t-2)^2 + 4.

Passo 3

Agora usamos a condição h(0)=0 (altura no instante t=0). Substituindo t=0 na expressão:
0 = h(0) = a\,(0-2)^2 + 4.
Calcule o quadrado: (0-2)^2 = 4. Logo:
0 = 4a + 4.

Passo 4

Resolver a equação para a:
4a + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad 4a = -4 \quad\Rightarrow\quad a = -1.
Interpretação: a=-1<0 significa que a parábola abre para baixo, como deve ser para um movimento que tem altura máxima.

Passo 5

Substituindo a=-1 na forma vértice:
h(t) = -1\cdot (t-2)^2 + 4 = -(t-2)^2 + 4.

Passo 6

Expandir para a forma polinomial padrão (para comparar com as alternativas). Primeiro expandir (t-2)^2:
(t-2)^2 = t^2 - 4t + 4.
Multiplicando por -1 e somando 4:
h(t) = -\bigl(t^2 - 4t + 4\bigr) + 4 = -t^2 + 4t -4 +4 = -t^2 + 4t.

Passo 7

Verificação rápida com as condições iniciais:
  • h(2) = -2^2 + 4\cdot 2 = -4 + 8 = 4 — confirma o máximo.
  • h(0) = 0 — confirma o valor inicial.
Comparando com as alternativas, a que coincide é a alternativa (a).

Resposta

h(t)=-t^{2}+4t

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