Calcule as integrais, usando integração por partes
integral4^9 ln (y)raizy

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral4^9 ln(y)raizy,dy usando integração por partes.

Passo 2

Para aplicar integração por partes escolhemos u=ln(y) e dv=y^-1/2,dy. Então
  • du=1y,dy
  • v=integral y^-1/2,dy=2y^1/2.

Passo 3

A fórmula de integração por partes diz integral u,dv=u,v-integral v,du. Aplicando com limites de 4 a 9 temos:
integral4^9ln(y)raizy,dy = l[2raizy,ln(y)r]4^9 - 2integral4^9y^-1/2,dy

Passo 4

Calculando o termo de borda:
l[2raizy,ln(y)r]4^9 = 2cdot3ln(9) - 2cdot2ln(4) = 6ln(9) - 4ln(4)
Usando ln(9)=2ln(3) e ln(4)=2ln(2) isso vira 6cdot2ln(3)-4cdot2ln(2)=12ln(3)-8ln(2).

Passo 5

Agora a integral restante:
2integral4^9y^-1/2,dy = 2l[2y^1/2r]4^9 = 4(3-2)=4

Passo 6

Por fim, juntando tudo:
integral4^9ln(y)raizy,dy = l(12ln(3)-8ln(2)r) - 4 = 12ln(3)-8ln(2)-4

Resposta

12ln(3) - 8ln(2) - 4

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