Mais geralmente, prove que se p1, ldots, pk são primos distintos, então raizp1 p2 ldots pk é irracional.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para primos distintos p1,dots,pk, o número raizp1p2cdots pk não pode ser escrito como quociente de dois inteiros. O conteúdo principal envolve números racionais, prova por contradição e o Teorema Fundamental da Aritmética (unicidade da fatoração em primos).

Passo 2

Suponha, por absurdo, que raizp1p2cdots pk seja racional. Então existem inteiros a e b>0 com gcd(a,b)=1 tais que
raizp1p2cdots pk=ab

Passo 3

Elevando ao quadrado ambos os lados, obtemos
p1p2cdots pk=a^2b^2
ou seja
$$
a^2=p_1p_2\cdots p_k,b^2.$$

Passo 4

Agora use o Teorema Fundamental da Aritmética: na fatoração em primos de a^2 todos os expoentes são pares, pois cada primo em a aparece com o dobro de expoente em a^2. Já na fatoração de p1p2cdots pk,b^2, cada primo pi aparece uma vez no produto p1p2cdots pk (expoente 1) mais um expoente par vindo de b^2. Logo, o expoente total de pi nessa fatoração é ímpar.

Passo 5

Aí está a contradição: um mesmo primo pi não pode ter seu expoente na fatoração de um número ao mesmo tempo par (em a^2) e ímpar (em p1p2cdots pk,b^2). Logo nossa hipótese de racionalidade falhou.
Concluímos que raizp1p2cdots pk deve ser irracional.

Resposta

raizp1p2cdots pk é irracional.

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