Mais geralmente, prove que se
são primos distintos, então
é irracional.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para primos distintos
, o número
não pode ser escrito como quociente de dois inteiros. O conteúdo principal envolve números racionais, prova por contradição e o Teorema Fundamental da Aritmética (unicidade da fatoração em primos).
Passo 2
Suponha, por absurdo, que
seja racional. Então existem inteiros
e
com
tais que
Passo 3
Elevando ao quadrado ambos os lados, obtemos
ou seja
$$
a^2=p_1p_2\cdots p_k,b^2.$$
Passo 4
Agora use o Teorema Fundamental da Aritmética: na fatoração em primos de
todos os expoentes são pares, pois cada primo em
aparece com o dobro de expoente em
. Já na fatoração de
, cada primo
aparece uma vez no produto
(expoente 1) mais um expoente par vindo de
. Logo, o expoente total de
nessa fatoração é ímpar.
Passo 5
Aí está a contradição: um mesmo primo
não pode ter seu expoente na fatoração de um número ao mesmo tempo par (em
) e ímpar (em
). Logo nossa hipótese de racionalidade falhou.
Concluímos que deve ser irracional.
Concluímos que