Calcule as integrais usando o método mais adequado
\int\left(\frac{3}{x^{2}-1}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{3}{x^{2}-1}\,dx
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais, porque o denominador x^{2}-1 fatora em (x-1)(x+1). Vamos usar essa fatoração para escrever a integral como soma de termos mais simples.

Passo 2

Fatoramos o denominador e montamos a decomposição:
\frac{3}{x^{2}-1} = \frac{3}{(x-1)(x+1)} \;=\; \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1), obtemos
3 = A(x+1) + B(x-1).

Passo 3

Para achar A e B, igualamos em pontos convenientes:
\begin{cases} x=1: & 3 = A(1+1) + B(0)\;\Rightarrow\;A = \frac{3}{2},\\\ x=-1: & 3 = A(0) + B(-1-1)\;\Rightarrow\;B = -\frac{3}{2}. \end{cases}
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\frac{3}{x^{2}-1} = \frac{3/2}{\,x-1\,} - \frac{3/2}{\,x+1\,}.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int \frac{3}{x^{2}-1}\,dx = \frac{3}{2}\int \frac{dx}{x-1} - \frac{3}{2}\int \frac{dx}{x+1}.
Sabendo que \displaystyle \int \frac{dx}{x-a} = \ln\bigl|x-a\bigr|, concluímos
\int \frac{3}{x^{2}-1}\,dx = \frac{3}{2}\ln\bigl|x-1\bigr| - \frac{3}{2}\ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Passo 5

Usando propriedades de logaritmo para combinar,
\frac{3}{2}\ln\bigl|x-1\bigr| - \frac{3}{2}\ln\bigl|x+1\bigr| = \frac{3}{2}\ln\!\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr|.

Resposta

\frac{3}{2}\ln\!\Bigl|\frac{x-1}{x+1}\Bigr| + C

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