Calcule as integrais usando o método mais adequado
\int\left((\sqrt[3]{t})^{2}-2\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl((\sqrt[3]{t})^{2}-2\bigr)\,dt
Esse é um caso de integração de potências de t, em que vamos usar a regra
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C,\quad n \neq -1.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos (\sqrt[3]{t})^{2} em termos de potência de t. Como \sqrt[3]{t}=t^{1/3}, temos
(\sqrt[3]{t})^{2} = \bigl(t^{1/3}\bigr)^{2} = t^{2/3}.
Logo a integral vira
\int\bigl(t^{2/3} - 2\bigr)\,dt.

Passo 3

Separamos a integral em duas partes:
\int t^{2/3}\,dt \;-\;\int 2\,dt.
Agora aplicamos a regra da potência em cada termo.

Passo 4

Para \displaystyle \int t^{2/3}\,dt, usamos n = \tfrac{2}{3}, então
\int t^{2/3}\,dt = \frac{t^{2/3+1}}{2/3+1} + C_1 = \frac{t^{5/3}}{5/3} + C_1 = \frac{3}{5}\,t^{5/3} + C_1.

Passo 5

Para \displaystyle \int 2\,dt é direto, pois é uma constante:
\int 2\,dt = 2t + C_2.

Passo 6

Subtraindo as duas partes e juntando as constantes em uma única C, obtemos
\int\bigl(t^{2/3}-2\bigr)\,dt = \frac{3}{5}\,t^{5/3} \;-\; 2t \;+\; C.

Resposta

\frac{3}{5}\,t^{5/3} \;-\; 2t \;+\; C

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