Use o método de integração por frações parciais para resolver as seguintes integrais
\int \frac{2 z+3}{z^{2}(4 z+1)} d z

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2z+3}{z^{2}(4z+1)}\,dz
usando o método de frações parciais. O conteúdo é “integração de funções racionais” e vamos precisar decompor a função em termos mais simples do tipo \tfrac{A}{z}+\tfrac{B}{z^{2}}+\tfrac{C}{4z+1},
para depois integrar cada parcela separadamente.

Passo 2

Assumimos a decomposição
\frac{2z+3}{z^{2}(4z+1)} =\frac{A}{z}+\frac{B}{z^{2}}+\frac{C}{4z+1}.
Multiplicando ambos os lados por z^{2}(4z+1) obtemos a identidade
2z+3 =A\bigl(z(4z+1)\bigr)+B(4z+1)+C\,z^{2}.

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A(4z^2+z)+B(4z+1)+Cz^2 =(4A+C)\,z^2+(A+4B)\,z+B.
Como isso deve ser igual a 2z+3, com coeficiente de z^2 igual a zero, igualamos coeficientes:
4A+C=0,\quad A+4B=2,\quad B=3.
Da terceira equação B=3. Substituindo em A+4B=2 A+12=2, logo A=-10. Finalmente, de 4A+C=0 vem C=40.

Passo 4

Substituindo A, B e C na decomposição,
\frac{2z+3}{z^{2}(4z+1)} =-\frac{10}{z}+\frac{3}{z^{2}}+\frac{40}{4z+1}.
Assim a integral se separa:
\int \frac{2z+3}{z^{2}(4z+1)}\,dz =-10\int \frac{1}{z}\,dz +3\int \frac{1}{z^{2}}\,dz +40\int \frac{1}{4z+1}\,dz.
Agora integramos termo a termo:
  1. \displaystyle -10\int \frac{1}{z}\,dz=-10\ln\lvert z\rvert. 2. \displaystyle 3\int z^{-2}\,dz =3\bigl(-z^{-1}\bigr) =-\frac{3}{z}. 3. Na última, faça u=4z+1, du=4\,dz:
40\int \frac{1}{4z+1}\,dz =40\int \frac{1}{u}\,\frac{du}{4} =10\int \frac{1}{u}\,du =10\ln\lvert u\rvert =10\ln\lvert 4z+1\rvert.

Passo 5

Somando os resultados e adicionando a constante de integração C, temos
\int \frac{2z+3}{z^{2}(4z+1)}\,dz =-10\ln\lvert z\rvert -\frac{3}{z} +10\ln\lvert 4z+1\rvert + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{2z+3}{z^{2}(4z+1)}\,dz =-10\ln\lvert z\rvert -\frac{3}{z} +10\ln\lvert 4z+1\rvert + C. }

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