Em cada parte, determine uma equação da esfera com centro (2,-1,-3) e que satisfaça a condição dada:
Tangente ao plano x y.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma esfera de centro (2,-1,-3) que seja tangente ao plano xy. O conteúdo envolvido é geometria analítica: equação geral da esfera e fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

A equação geral de uma esfera de centro (x_{0},y_{0},z_{0}) e raio r é
(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} + (z - z_{0})^{2} = r^{2}.
Aqui temos (x_{0},y_{0},z_{0}) = (2,-1,-3).

Passo 3

Para que a esfera seja tangente ao plano xy (cuja equação é z=0), o raio r deve ser igual à distância do centro ao plano. A distância de (2,-1,-3) ao plano z=0 é
\bigl|{-3}\bigr| = 3.
Logo, r = 3.

Passo 4

Substituindo o centro e r na equação geral, obtemos
(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 3^{2} = 9.

Resposta

(x - 2)^{2} + (y + 1)^{2} + (z + 3)^{2} = 9

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