Calcule a integral.
37. integral tg t sec ^3 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de funções trigonométricas, mais precisamente \integrar tan t,sec^3 t,dt. Vamos usar o fato de conhecermos a derivada de sec t para escolher uma substituição inteligente.

Passo 2

Sabemos que
ddt(sec t)=sec ttan t
Isso sugere agrupar parte da integral como sec ttan t,dt para usar u=sec t.

Passo 3

Reescrevendo a integral:
integral tan t,sec^3 t,dt =integral sec^2 t;l(sec ttan tr),dt
Aqui identificamos sec ttan t,dt como algo que aparece em du.

Passo 4

Fazendo a substituição
u=sec t Longrightarrow du=sec ttan t,dt
Então a integral vira
integral sec^2 t;(sec ttan t,dt)=integral u^2,du,
pois sec^2 t=(sec t)^2=u^2.

Passo 5

Agora é só integrar em u:
integral u^2,du=u^33+C
Voltando para t, temos u=sec t.

Resposta

13sec^3 t +C

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