Questão 3. (2,5 pontos) Calcule as derivadas das funções
e calcule os limites abaixo:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
e também alguns limites que não foram informados. Para obter a derivada usamos diferenciação logarítmica. Definindo
temos
Passo 2
Derivando ambos os lados em relação a
:
$$\frac{1}{y}y’ = \ln\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr) + x\cdot\frac{1}{1+\tfrac1x}\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{x^2}\Bigr).
$$
Passo 3
Simplificando o segundo termo:
Passo 4
Logo,
$$\frac{y
Passo 5
y} = \ln\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr) - \frac{1}{x+1},
$$ e portanto
$$f’(x)=y’=f(x)\biggl[\ln\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)-\frac{1}{x+1}\biggr]
=\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)^x\Bigl[\ln\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)-\tfrac{1}{x+1}\Bigr].$$
Passo 6
Os limites solicitados não foram fornecidos no enunciado, então não é possível calculá-los sem essa informação.