Questão 3. (2,5 pontos) Calcule as derivadas das funções f(x) e calcule os limites abaixo:
f(x)=(1+1x)^x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=l(1+tfrac1xr)^x e também alguns limites que não foram informados. Para obter a derivada usamos diferenciação logarítmica. Definindo y=f(x) temos
ln y = xlnl(1+tfrac1xr)

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
$$\frac{1}{y}y’ = \ln\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr) + x\cdot\frac{1}{1+\tfrac1x}\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{x^2}\Bigr).
$$

Passo 3

Simplificando o segundo termo:
xcdot11+tfrac1xcdotl(-tfrac1x^2r) = -1x(1+tfrac1x) = -1x+1

Passo 4

Logo,
$$\frac{y

Passo 5

y} = \ln\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr) - \frac{1}{x+1},
$$ e portanto
$$f’(x)=y’=f(x)\biggl[\ln\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)-\frac{1}{x+1}\biggr]
=\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)^x\Bigl[\ln\Bigl(1+\tfrac1x\Bigr)-\tfrac{1}{x+1}\Bigr].$$

Passo 6

Os limites solicitados não foram fornecidos no enunciado, então não é possível calculá-los sem essa informação.

Resposta

f'(x)=l(1+tfrac1xr)^xl[ln(1+tfrac1x)-tfrac1x+1r] e não é possível calcular os limites pois não foram especificados.

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