Calcule a integral abaixo, usando o Método de Frações Parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral
usando o Método de Frações Parciais. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de frações parciais, que serve para quebrar frações complexas em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então:
Passo 3
Agora, vamos escrever a fração
como a soma de duas frações mais simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo esse sistema:
Somando as duas equações:
Substituindo
na primeira equação:
Passo 7
Com
e
, podemos reescrever a fração:
Passo 8
Agora, integramos cada termo separadamente:
A integral de
é
, então: