Calcule a integral abaixo, usando o Método de Frações Parciais.
integral x+2x^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral integral x+2x^2-1 , dx usando o Método de Frações Parciais. A matéria aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de frações parciais, que serve para quebrar frações complexas em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 1. Sabemos que isso é uma diferença de quadrados, então:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)

Passo 3

Agora, vamos escrever a fração x+2(x-1)(x+1) como a soma de duas frações mais simples:
x+2(x-1)(x+1) = Ax-1 + Bx+1
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação por (x-1)(x+1) para eliminar os denominadores:
x + 2 = A(x + 1) + B(x - 1)

Passo 5

Expandindo os termos do lado direito:
x + 2 = A x + A + B x - B
Agrupando os termos semelhantes:
x + 2 = (A + B)x + (A - B)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
A + B = 1 A - B = 2
Resolvendo esse sistema:
Somando as duas equações:
2A = 3 Rightarrow A = 32
Substituindo A = 32 na primeira equação:
32 + B = 1 Rightarrow B = 1 - 32 = -12

Passo 7

Com A = 32 e B = -12, podemos reescrever a fração:
x+2x^2-1 = 32x-1 + -12x+1 = 32(x-1) - 12(x+1)

Passo 8

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 32(x-1) , dx - integral 12(x+1) , dx
A integral de 1x é ln|x|, então:
32 ln|x-1| - 12 ln|x+1| + C

Resposta

32 ln|x-1| - 12 ln|x+1| + C

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