Considere as seguintes afirmações sobre a função
.
(I)
é decrescente em
;
(II)
crescente em
;
(III)
é decrescente em e
;
Neste caso, é correto afirmar que:
c) Apenas as afirmaçōes (I) e (III) são verdadeiras.
(I)
(II)
(III)
Neste caso, é correto afirmar que:
c) Apenas as afirmaçōes (I) e (III) são verdadeiras.
Passo 1
Temos a função f(x)=x{3}-3x{2}+1 e queremos verificar se ela é crescente ou decrescente nos intervalos indicados em (I) (-∞,0], (II) [0,2] e (III) [2,∞). Para isso, vamos usar o conceito de monotonicidade via derivada: onde f’(x)>0 ela é crescente, e onde f’(x)<0 ela é decrescente.
Passo 2
Calculamos a derivada de f:
Passo 3
Os pontos críticos onde f’(x)=0 são x=0 e x=2.
Passo 4
Agora fazemos o teste de sinal de f’(x) em cada intervalo:
- Para x<0, temos x<0 e (x-2)<0, logo 3x(x-2)>0 ⇒ f é crescente em (-∞,0).
- Para 0<x<2, temos x>0 mas (x-2)<0, logo 3x(x-2)<0 ⇒ f é decrescente em (0,2).
- Para x>2, temos x>0 e (x-2)>0, logo 3x(x-2)>0 ⇒ f é crescente em (2,∞).
Passo 5
Comparando com as afirmações: (I) diz que f é decrescente em (-∞,0] (mas achamos crescente), (II) diz que é crescente em [0,2] (mas achamos decrescente) e (III) diz que é decrescente em [2,∞) (mas achamos crescente).
Resposta
Nenhuma das afirmações é verdadeira.