(2.0) Chama-se primitiva (ou função antiderivada) uma função que, ao ser derivada, resulta em uma função original dada. Em outras palavras, uma primitiva de uma função f(x) é uma função \mathrm{F}(\mathrm{x}). Encontrar uma primitiva \mathrm{F}(\mathrm{t}), da função f(t)=e^{t}-\sqrt[4]{16 t}+3 t^{3} que satisfaça F(1)=2.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar uma primitiva F(t) da função
f(t)=e^{t}-\sqrt[4]{16\,t}+3t^{3}
tal que F(1)=2.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(t)=e^{t}-\sqrt[4]{16\,t}+3t^{3}.
  • A primitiva procurada deve satisfazer a condição inicial F(1)=2.

Passo 2

O que é uma primitiva (antiderivada)?
Uma função F(t) é primitiva de f(t) se, ao derivarmos F, obtemos f:
F'(t)=f(t).
Para encontrar F usamos regras básicas de integração (anti-derivação): linearidade (a integral da soma é soma das integrais e constantes saem da integral) e a regra do poder para potências de t:
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1,
onde C é a constante de integração. Também sabemos que
\int e^{t}\,dt=e^{t}+C.

Passo 3

Aplicar linearidade para separar a integral termo a termo. Isto é, uma primitiva geral F(t) de f(t) pode ser escrita como
F(t)=\int e^{t}\,dt-\int \sqrt[4]{16\,t}\,dt+\int 3t^{3}\,dt.
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 4

Integrar o primeiro termo. Como já citado,
\int e^{t}\,dt=e^{t}+C_1.
Aqui apenas anotamos que a contribuição de e^{t} para a primitiva é e^{t} (a constante ficará agrupada no final).

Passo 5

Tratar o termo com raiz: simplificar \sqrt[4]{16\,t}.
Escrevemos
\sqrt[4]{16\,t}=(16\,t)^{1/4}=16^{1/4}\,t^{1/4}.
Como 16^{1/4}=2, segue que
\sqrt[4]{16\,t}=2\,t^{1/4}.
Portanto o termo no integrando é -\sqrt[4]{16\,t}=-2\,t^{1/4}.

Passo 6

Integrar o termo -2\,t^{1/4} usando a regra do poder. Para n=\tfrac{1}{4},
\int t^{1/4}\,dt=\frac{t^{1/4+1}}{1/4+1}=\frac{t^{5/4}}{5/4}=\frac{4}{5}\,t^{5/4}.
Multiplicando pela constante -2,
\int -2\,t^{1/4}\,dt=-2\cdot\frac{4}{5}\,t^{5/4}=-\frac{8}{5}\,t^{5/4}.

Passo 7

Integrar o terceiro termo 3t^{3}. Usando a regra do poder com n=3,
\int 3t^{3}\,dt=3\cdot\frac{t^{4}}{4}=\frac{3}{4}\,t^{4}.

Passo 8

Juntando as parcelas (e agrupando as constantes de integração numa única constante C), uma primitiva geral é
F(t)=e^{t}-\frac{8}{5}\,t^{5/4}+\frac{3}{4}\,t^{4}+C.

Passo 9

Usar a condição inicial F(1)=2 para determinar C. Avaliando em t=1:
F(1)=e^{1}-\frac{8}{5}\cdot 1^{5/4}+\frac{3}{4}\cdot 1^{4}+C = e-\frac{8}{5}+\frac{3}{4}+C.
Queremos F(1)=2, então
e-\frac{8}{5}+\frac{3}{4}+C=2.
Isolando C,
C=2-e+\frac{8}{5}-\frac{3}{4}.
Calcular \dfrac{8}{5}-\dfrac{3}{4} com denominador comum 20:
\frac{8}{5}-\frac{3}{4}=\frac{32}{20}-\frac{15}{20}=\frac{17}{20}.
Logo
C=2-e+\frac{17}{20}= \frac{57}{20}-e.

Passo 10

Verificação rápida (opcional): se derivarmos a primitiva geral F(t)=e^{t}-\dfrac{8}{5}t^{5/4}+\dfrac{3}{4}t^{4}+C obtemos
F'(t)=e^{t}-\frac{8}{5}\cdot\frac{5}{4}t^{1/4}+3t^{3}=e^{t}-2t^{1/4}+3t^{3},
e como 2t^{1/4}= \sqrt[4]{16\,t} a derivada coincide com f(t), então a primitiva está correta.

Resposta

F(t)=e^{t}-\frac{8}{5}\,t^{5/4}+\frac{3}{4}\,t^{4}+\frac{57}{20}-e

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