(2.0) Chama-se primitiva (ou função antiderivada) uma função que, ao ser derivada, resulta em uma função original dada. Em outras palavras, uma primitiva de uma função
é uma função
. Encontrar uma primitiva
, da função
que satisfaça
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar uma primitiva
da função
tal que
.
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A primitiva procurada deve satisfazer a condição inicial
.
Passo 2
O que é uma primitiva (antiderivada)?
Uma função é primitiva de
se, ao derivarmos
, obtemos
:
Uma função
Para encontrar
usamos regras básicas de integração (anti-derivação): linearidade (a integral da soma é soma das integrais e constantes saem da integral) e a regra do poder para potências de
:
onde
é a constante de integração. Também sabemos que
Passo 3
Aplicar linearidade para separar a integral termo a termo. Isto é, uma primitiva geral
de
pode ser escrita como
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 4
Integrar o primeiro termo. Como já citado,
Aqui apenas anotamos que a contribuição de
para a primitiva é
(a constante ficará agrupada no final).
Passo 5
Tratar o termo com raiz: simplificar
.
Escrevemos
Escrevemos
Como
, segue que
Portanto o termo no integrando é
.
Passo 6
Integrar o termo
usando a regra do poder. Para
,
Multiplicando pela constante
,
Passo 7
Integrar o terceiro termo
. Usando a regra do poder com
,
Passo 8
Juntando as parcelas (e agrupando as constantes de integração numa única constante
), uma primitiva geral é
Passo 9
Usar a condição inicial
para determinar
. Avaliando em
:
Queremos
, então
Isolando
,
Calcular
com denominador comum
:
Logo
Passo 10
Verificação rápida (opcional): se derivarmos a primitiva geral
obtemos
e como
a derivada coincide com
, então a primitiva está correta.