Calcule a integral para a e b constantes.
\int(a t+b) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida de (a\,t + b) em relação a t, onde a e b são constantes. O conteúdo aqui é integral de polinômio, e vamos precisar usar a propriedade de linearidade da integral e a regra da potência.

Passo 2

Pela linearidade da integral, podemos escrever
\int (a\,t + b)\,dt = a \int t\,dt + b \int 1\,dt.

Passo 3

Para \int t\,dt aplicamos a regra da potência, que diz \int t^n\,dt = \tfrac{t^{n+1}}{n+1} + C. No nosso caso n=1, então
\int t\,dt = \frac{t^2}{2}.

Passo 4

Para \int 1\,dt reconhecemos que é simplesmente t, pois a derivada de t é 1. Logo,
\int 1\,dt = t.

Passo 5

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int (a\,t + b)\,dt = a \cdot \frac{t^2}{2} + b\,t + C.

Resposta

\frac{a\,t^2}{2} + b\,t + C

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