Calcule.
\int \frac{\left(1+\cot ^{2} z\right) \cot z}{\csc z} d z

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{\bigl(1+\cot^{2}z\bigr)\,\cot z}{\csc z}\,dz.
Para isso, vamos usar identidades trigonométricas para simplificar o integrando e depois aplicar uma substituição do tipo u-substituição.

Passo 2

Usamos a identidade
1+\cot^{2}z = \csc^{2}z
e lembramos que \csc z = 1/\sin z. Assim, o integrando fica
\frac{(1+\cot^{2}z)\,\cot z}{\csc z} = \frac{\csc^{2}z\,\cot z}{\csc z} = \csc z\,\cot z = \frac{1}{\sin z}\;\frac{\cos z}{\sin z} = \frac{\cos z}{\sin^{2}z}.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \sin z, \quad du = \cos z\,dz.
Logo,
\frac{\cos z}{\sin^{2}z}\,dz = \frac{1}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int \frac{1}{u^{2}}\,du = \int u^{-2}\,du = -\,u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C.
Voltando a z, obtemos
-\frac{1}{\sin z} + C = -\csc z + C.

Resposta

-\csc z + C

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