Calcule a integral
\begin{array}{rc} \int_{1}^{4}\left(x^{2}-2 x\right) d x & \int_{0}^{1} \frac{d x}{(1+\sqrt{x})^{4}} \\\ \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(x+x^{2} \operatorname{sen} x+x^{2}\right) d x & \int_{e}^{e^{4}} \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}} \\\ \int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x & \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\\ \int_{0}^{a} x \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x(a>0) & \int_{0}^{1 / 2} \frac{\operatorname{sen}^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \end{array}

Passo 1

O enunciado pede calcular as oito integrais definidas abaixo (vou listar cada uma exatamente como está para não nos perder):
  1. \displaystyle \int_{1}^{4}\left(x^{2}-2 x\right)\,d x
  2. \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{d x}{\left(1+\sqrt{x}\right)^{4}}
  3. \displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(x+x^{2}\sin x+x^{2}\right)\,d x
  4. \displaystyle \int_{e}^{e^{4}} \frac{d x}{x\sqrt{\ln x}}
  5. \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,d x
  6. \displaystyle \int_{0}^{a} x\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,d x (com a>0)
  7. \displaystyle \int_{0}^{a} x\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,d x (com a>0)
  8. \displaystyle \int_{0}^{1/2} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,d x
Agora vamos resolver uma a uma, mostrando passo a passo e explicando os métodos usados.

Passo 2

Dica de técnicas que vamos usar (curtinho e direto):
  • Regra da potência para integrais indefinidas: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Isso serve para polinômios.
  • Substituição (trocar variável) em integrais definidas: se u=\varphi(x) então du=\varphi'(x)\,dx e trocamos também os limites.
  • Paridade (funções pares/ímpares): se f é ímpar ( f(-x)=-f(x)) então \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0. Se f é par ( f(-x)=f(x)) então \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
    Usarei essas ideias conforme conveniente.

Passo 3

Resolvendo 1) \displaystyle \int_{1}^{4}\left(x^{2}-2 x\right)\,d x.
Aplicamos a linearidade e a regra da potência:
\int\left(x^{2}-2x\right)\,dx=\int x^{2}\,dx-2\int x\,dx=\frac{x^{3}}{3}-2\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{x^{3}}{3}-x^{2}.
Agora avaliamos nos limites 1 e 4:
\left.\left(\frac{x^{3}}{3}-x^{2}\right)\right|_{1}^{4} =\left(\frac{4^{3}}{3}-4^{2}\right)-\left(\frac{1^{3}}{3}-1^{2}\right) =\left(\frac{64}{3}-16\right)-\left(\frac{1}{3}-1\right).
Calcule cada parte: \displaystyle\frac{64}{3}-16=\frac{64-48}{3}=\frac{16}{3} e \displaystyle\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3}. Então
\frac{16}{3}-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{18}{3}=6.

Passo 4

Resolvendo 2) \displaystyle \int_{0}^{1} \frac{d x}{\left(1+\sqrt{x}\right)^{4}}.
Fazemos a substituição clássica para radicais: t=\sqrt{x}. Então x=t^{2} e dx=2t\,dt. Os limites: quando x=0 então t=0; quando x=1 então t=1. A integral fica
\int_{0}^{1}\frac{dx}{(1+\sqrt{x})^{4}}=\int_{0}^{1}\frac{2t\,dt}{(1+t)^{4}}.
Agora é conveniente fazer u=1+t (ou simplesmente expandir), com du=dt, e os limites: t=0\to u=1, t=1\to u=2. Reescrevendo t=u-1 obtemos
\int_{1}^{2}\frac{2(u-1)}{u^{4}}\,du =2\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{u^{3}}-\frac{1}{u^{4}}\right)\,du.
Integramos termo a termo (usando potência negativa):
\int \frac{1}{u^{3}}\,du=\int u^{-3}\,du=-\frac{1}{2}u^{-2},\qquad \int \frac{1}{u^{4}}\,du=\int u^{-4}\,du=-\frac{1}{3}u^{-3}.
Assim a antiderivada é
2\left(-\frac{1}{2}u^{-2}+\frac{1}{3}u^{-3}\right)=-u^{-2}+\frac{2}{3}u^{-3}.
Avaliaremos de 1 a 2:
\left(-\frac{1}{2^{2}}+\frac{2}{3\cdot 2^{3}}\right)-\left(-1+\frac{2}{3}\right) =\left(-\frac{1}{4}+\frac{2}{24}\right)-\left(-\frac{1}{3}\right).
Simplificando: -\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{12}=-\dfrac{1}{6}. E o segundo parêntese é -\dfrac{1}{3} com sinal negativo vira +\dfrac{1}{3}. Então total
-\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.

Passo 5

Resolvendo 3) \displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(x+x^{2}\sin x+x^{2}\right)\,d x.
Vamos usar paridade:
  • x é função ímpar ( x=-(-x)), logo \displaystyle\int_{-a}^{a} x\,dx=0.
  • x^{2}\sin x: x^{2} é par e \sin x é ímpar, produto de par com ímpar é ímpar, então \displaystyle\int_{-a}^{a} x^{2}\sin x\,dx=0.
  • x^{2} é par, então \displaystyle\int_{-a}^{a} x^{2}\,dx=2\int_{0}^{a} x^{2}\,dx.
Aplicando para a=\pi/2:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^{2}\,dx = 2\int_{0}^{\pi/2} x^{2}\,dx =2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\pi/2}=2\cdot\frac{(\pi/2)^{3}}{3}.
Calcule:
2\cdot\frac{\pi^{3}}{8}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\pi^{3}}{12}.
Como os dois primeiros termos integrados dão 0, o valor total é \displaystyle\frac{\pi^{3}}{12}.

Passo 6

Resolvendo 4) \displaystyle \int_{e}^{e^{4}} \frac{d x}{x\sqrt{\ln x}}.
Escolha natural: u=\ln x. Então du=\dfrac{dx}{x}. Limites: x=e\Rightarrow u=1, x=e^{4}\Rightarrow u=4. A integral transforma-se em
\int_{1}^{4} \frac{du}{\sqrt{u}}=\int_{1}^{4} u^{-1/2}\,du.
Integramos:
\int u^{-1/2}\,du=2u^{1/2}.
Avalia de 1 a 4:
2\left(\sqrt{4}-\sqrt{1}\right)=2(2-1)=2.

Passo 7

Resolvendo 5) \displaystyle \int_{1}^{2} \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,d x.
Substituição eficiente: u=\dfrac{1}{x}. Então du=-\dfrac{1}{x^{2}}\,dx, isto é \dfrac{dx}{x^{2}}=-du. Limites: x=1\Rightarrow u=1; x=2\Rightarrow u=\tfrac{1}{2}. A integral fica
\int_{1}^{2}\frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,dx=-\int_{1}^{1/2} e^{u}\,du=\int_{1/2}^{1} e^{u}\,du.
Antiderivada de e^{u} é e^{u}. Então
\left.e^{u}\right|_{1/2}^{1}=e^{1}-e^{1/2}=e-\sqrt{e}.

Passo 8

Resolvendo 6) \displaystyle \int_{0}^{a} x\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,d x com a>0.
Substituição direta usando u=a^{2}-x^{2}. Então du=-2x\,dx, logo x\,dx=-\dfrac{1}{2}\,du. Limites: x=0\Rightarrow u=a^{2}, x=a\Rightarrow u=0. A integral vira
\int_{0}^{a} x\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,dx=\int_{a^{2}}^{0}\sqrt{u}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) =\frac{1}{2}\int_{0}^{a^{2}} u^{1/2}\,du.
Integramos:
\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{0}^{a^{2}}=\frac{1}{3}\left(a^{2}\right)^{3/2}.
Como a>0, \left(a^{2}\right)^{3/2}=a^{3}. Logo o resultado é
\frac{a^{3}}{3}.

Passo 9

Resolvendo 7) \displaystyle \int_{0}^{a} x\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,d x com a>0.
Também usamos substituição u=x^{2}+a^{2}. Então du=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Limites: x=0\Rightarrow u=a^{2}, x=a\Rightarrow u=2a^{2}. A integral transforma-se em
\int_{0}^{a} x\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int_{a^{2}}^{2a^{2}} u^{1/2}\,du.
Integramos:
\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{a^{2}}^{2a^{2}}=\frac{1}{3}\left[(2a^{2})^{3/2}-(a^{2})^{3/2}\right].
Calcule as potências: (a^{2})^{3/2}=a^{3} e (2a^{2})^{3/2}=2^{3/2}a^{3}=2\sqrt{2}\,a^{3}. Portanto
\frac{1}{3}\left(2\sqrt{2}\,a^{3}-a^{3}\right)=\frac{a^{3}}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right).

Passo 10

Resolvendo 8) \displaystyle \int_{0}^{1/2} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,d x.
Aqui a substituição direta é u=\arcsin x. Então du=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}. Limites: x=0\Rightarrow u=0, x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow u=\arcsin\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{\pi}{6}. A integral torna-se
\int_{0}^{\pi/6} u\,du.
Antiderivada é \dfrac{u^{2}}{2}. Avaliando:
\left.\frac{u^{2}}{2}\right|_{0}^{\pi/6}=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}\right)^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi^{2}}{36}=\frac{\pi^{2}}{72}.

Resposta

6
\dfrac{1}{6}
\dfrac{\pi^{3}}{12}
2
e-\sqrt{e}
\dfrac{a^{3}}{3}
\dfrac{a^{3}}{3}\left(2\sqrt{2}-1\right)
\dfrac{\pi^{2}}{72}

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