\begin{array}{rc} \int_{1}^{4}\left(x^{2}-2 x\right) d x & \int_{0}^{1} \frac{d x}{(1+\sqrt{x})^{4}} \\\ \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(x+x^{2} \operatorname{sen} x+x^{2}\right) d x & \int_{e}^{e^{4}} \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}} \\\ \int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x & \int_{0}^{a} x \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x \\\ \int_{0}^{a} x \sqrt{x^{2}+a^{2}} d x(a>0) & \int_{0}^{1 / 2} \frac{\operatorname{sen}^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \end{array}
Passo 1
O enunciado pede calcular as oito integrais definidas abaixo (vou listar cada uma exatamente como está para não nos perder):
\displaystyle \int_{1}^{4}\left(x^{2}-2 x\right)\,d x
\displaystyle \int_{1}^{2} \frac{e^{1/x}}{x^{2}}\,d x
\displaystyle \int_{0}^{a} x\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,d x (com a>0)
\displaystyle \int_{0}^{a} x\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,d x (com a>0)
\displaystyle \int_{0}^{1/2} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,d x
Agora vamos resolver uma a uma, mostrando passo a passo e explicando os métodos usados.
Passo 2
Dica de técnicas que vamos usar (curtinho e direto):
Regra da potência para integrais indefinidas: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1. Isso serve para polinômios.
Substituição (trocar variável) em integrais definidas: se u=\varphi(x) então du=\varphi'(x)\,dx e trocamos também os limites.
Paridade (funções pares/ímpares): se f é ímpar (f(-x)=-f(x)) então \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=0. Se f é par (f(-x)=f(x)) então \displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx=2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Usarei essas ideias conforme conveniente.
Fazemos a substituição clássica para radicais: t=\sqrt{x}. Então x=t^{2} e dx=2t\,dt. Os limites: quando x=0 então t=0; quando x=1 então t=1. A integral fica
Substituição eficiente: u=\dfrac{1}{x}. Então du=-\dfrac{1}{x^{2}}\,dx, isto é \dfrac{dx}{x^{2}}=-du. Limites: x=1\Rightarrow u=1; x=2\Rightarrow u=\tfrac{1}{2}. A integral fica
Resolvendo 6) \displaystyle \int_{0}^{a} x\sqrt{a^{2}-x^{2}}\,d x com a>0.
Substituição direta usando u=a^{2}-x^{2}. Então du=-2x\,dx, logo x\,dx=-\dfrac{1}{2}\,du. Limites: x=0\Rightarrow u=a^{2}, x=a\Rightarrow u=0. A integral vira
Como a>0, \left(a^{2}\right)^{3/2}=a^{3}. Logo o resultado é
\frac{a^{3}}{3}.
Passo 9
Resolvendo 7) \displaystyle \int_{0}^{a} x\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,d x com a>0.
Também usamos substituição u=x^{2}+a^{2}. Então du=2x\,dx e x\,dx=\dfrac{1}{2}\,du. Limites: x=0\Rightarrow u=a^{2}, x=a\Rightarrow u=2a^{2}. A integral transforma-se em
Aqui a substituição direta é u=\arcsin x. Então du=\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}. Limites: x=0\Rightarrow u=0, x=\tfrac{1}{2}\Rightarrow u=\arcsin\left(\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{\pi}{6}. A integral torna-se