Calcule a integral indefinida geral
\begin{array}{cc} \int \frac{d x}{a x+b}(a \neq 0) & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}} \operatorname{sen}^{-1} x} \\\ \int x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x & \int \operatorname{sen} x \cos x d x \\\ \int \frac{x}{1+x^{4}} d x & \int \frac{(\ln x)^{2}}{x} d x \\\ \int \operatorname{tg} \theta \operatorname{sec} ^{2} \theta d \theta & \int \operatorname{sen} \pi x d x \end{array}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede: calcular as integrais indefinidas (antiderivadas) a seguir. Cada linha é uma integral que precisa de uma primitiva geral (com constante de integração \,C):
  1. \displaystyle \int \frac{dx}{a x+b} \quad ( a\neq 0)
  2. \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}\\ \operatorname{sen}^{-1}x}
  3. \displaystyle \int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx
  4. \displaystyle \int \operatorname{sen}x\cos x\,dx
  5. \displaystyle \int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx
  6. \displaystyle \int \frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx
  7. \displaystyle \int \operatorname{tg}\theta\\ \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta
  8. \displaystyle \int \operatorname{sen}(\pi x)\,dx

Passo 2

Antes de começar, vou explicar (bem didático) as principais técnicas que vou usar, com a ideia por trás de cada uma:
  • Substituição (método do u): se a integral tem uma parte que é derivada de outra, é prático definir \,u=g(x) e usar \,du=g'(x)\,dx. Isso reduz a integral a uma forma mais simples \int f(u)\,du. Exemplo padrão: se a integrand é g'(x)\,f(g(x)) então se toma u=g(x) e obtém \int f(u)\,du.
  • Integração de potência: \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Em especial, \int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}+C.
  • Antiderivadas fundamentais: \displaystyle \int \frac{du}{u}=\ln|u|+C, \displaystyle \int \frac{du}{1+u^{2}}=\arctan u + C, \displaystyle \int \sin u\,du=-\cos u + C, e \displaystyle \int \cos u\,du=\sin u + C.
  • Para funções logarítmicas: se u=\ln x então du=\dfrac{dx}{x}, então \int \dfrac{(\ln x)^{n}}{x}\,dx = \int u^{n}\,du.
  • Relações trigonométricas e derivadas: \dfrac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x, \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x, \dfrac{d}{d\theta}\big(\tan\theta\big)=\operatorname{sec}^{2}\theta. Essas derivadas permitem ver substituições óbvias do tipo u=\sin x ou u=\tan\theta.
Agora aplico essas ideias integral por integral, mostrando cada passo.

Passo 3

Integral 1: \displaystyle \int \frac{dx}{a x+b} com a\neq 0.
Escolha da substituição: note que a derivada de a x+b é a. Então ponho
u = a x + b.
A diferenciação dá
du = a\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{a}.
Substituindo na integral:
\int \frac{dx}{a x+b} = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{a} = \frac{1}{a}\int \frac{du}{u}.
A antiderivada de 1/u é \ln|u|, logo
\int \frac{dx}{a x+b} = \frac{1}{a}\ln|u|+C = \frac{1}{a}\ln|a x+b|+C.
Explicação curta: troquei ax+b por u, a integral virou \frac{1}{a}\int du/u e usei \int du/u=\ln|u|.

Passo 4

Integral 2: \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}\\ \operatorname{sen}^{-1}x}.
Reconhecimento: aparece \sqrt{1-x^{2}} junto com \operatorname{sen}^{-1}x (arco-seno). Uma substituição natural é u=\operatorname{sen}^{-1}x porque sabemos que \sin u = x e então \cos u = \sqrt{1-x^{2}} (para |x|<1 e escolhendo o ramo principal). Faço:
u=\operatorname{sen}^{-1}x \quad\Rightarrow\quad x=\sin u.
Diferenciando:
dx = \cos u\,du.
Além disso \sqrt{1-x^{2}}=\cos u. Substituindo:
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}\\ \operatorname{sen}^{-1}x} = \int \frac{\cos u\,du}{\cos u\cdot u} = \int \frac{du}{u}.
Então
\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}\\ \operatorname{sen}^{-1}x} = \ln|u|+C = \ln\big|\operatorname{sen}^{-1}x\big|+C.
Explicação: a \cos u do dx cancela a \sqrt{1-x^{2}}, sobrando 1/u.

Passo 5

Integral 3: \displaystyle \int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx.
Observação: dentro da raiz há x^{3}+1. A derivada de x^{3}+1 é 3x^{2}, e há um fator x^{2} fora — ótima chance para substituir u=x^{3}+1. Faço:
u = x^{3}+1.
Diferenciando:
du = 3x^{2}\,dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
A integral fica
\int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx = \int \sqrt{u}\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du.
Usando a fórmula das potências:
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Portanto
\int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{2}{9}u^{3/2}+C.
Voltando a x:
\int x^{2}\sqrt{x^{3}+1}\,dx = \frac{2}{9}\big(x^{3}+1\big)^{3/2}+C.

Passo 6

Integral 4: \displaystyle \int \operatorname{sen}x\cos x\,dx.
Aqui a observação simples: \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}x\big)=\cos x. Então se u=\operatorname{sen}x temos du=\cos x\,dx. Fazer isso:
u=\operatorname{sen}x,\qquad du=\cos x\,dx.
Logo
\int \operatorname{sen}x\cos x\,dx = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C = \frac{\operatorname{sen}^{2}x}{2}+C.
Observação alternativa: também dava para usar a identidade \operatorname{sen}x\cos x=\tfrac{1}{2}\sin(2x) e integrar diretamente.

Passo 7

Integral 5: \displaystyle \int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx.
Estratégia: notar que x^{4}=(x^{2})^{2}. Se colocarmos u=x^{2}, então du=2x\,dx, ou x\,dx=\dfrac{du}{2}. Faço:
u=x^{2},\qquad du=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{2}.
A integral transforma-se em
\int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx = \frac{1}{2}\int \frac{du}{1+u^{2}}.
E sabemos
\int \frac{du}{1+u^{2}} = \arctan u + C.
Logo
\int \frac{x}{1+x^{4}}\,dx = \frac{1}{2}\arctan u + C = \frac{1}{2}\arctan\big(x^{2}\big)+C.

Passo 8

Integral 6: \displaystyle \int \frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx.
Aqui a técnica padrão é colocar u=\ln x, porque du=\dfrac{dx}{x}. Portanto:
u=\ln x,\qquad du=\frac{dx}{x}.
Substituindo:
\int \frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx = \int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}+C.
Voltando:
\int \frac{(\ln x)^{2}}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^{3}}{3}+C.

Passo 9

Integral 7: \displaystyle \int \operatorname{tg}\theta\\ \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Aqui use que \dfrac{d}{d\theta}\big(\operatorname{tg}\theta\big)=\operatorname{sec}^{2}\theta. Então a substituição natural é u=\operatorname{tg}\theta, com du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Assim:
u=\operatorname{tg}\theta,\qquad du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
A integral fica
\int \operatorname{tg}\theta\\ \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \int u\,du = \frac{u^{2}}{2}+C = \frac{\operatorname{tg}^{2}\theta}{2}+C.

Passo 10

Integral 8: \displaystyle \int \operatorname{sen}(\pi x)\,dx.
É uma integral direta de uma função trig com argumento linear. Use substituição u=\pi x, então du=\pi\,dx e dx=\dfrac{du}{\pi}. Assim:
\int \operatorname{sen}(\pi x)\,dx = \int \sin u \cdot \frac{du}{\pi} = \frac{1}{\pi}\int \sin u\,du.
E \int \sin u\,du = -\cos u + C. Logo
\int \operatorname{sen}(\pi x)\,dx = -\frac{1}{\pi}\cos u + C = -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{a}\ln|a x+b|+C
\displaystyle \ln\big|\operatorname{sen}^{-1}x\big|+C
\displaystyle \frac{2}{9}\big(x^{3}+1\big)^{3/2}+C
\displaystyle \frac{\operatorname{sen}^{2}x}{2}+C
\displaystyle \frac{1}{2}\arctan\big(x^{2}\big)+C
\displaystyle \frac{(\ln x)^{3}}{3}+C
\displaystyle \frac{\operatorname{tg}^{2}\theta}{2}+C
\displaystyle -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+C

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