\begin{array}{cc} \int \frac{d x}{a x+b}(a \neq 0) & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}} \operatorname{sen}^{-1} x} \\\ \int x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x & \int \operatorname{sen} x \cos x d x \\\ \int \frac{x}{1+x^{4}} d x & \int \frac{(\ln x)^{2}}{x} d x \\\ \int \operatorname{tg} \theta \operatorname{sec} ^{2} \theta d \theta & \int \operatorname{sen} \pi x d x \end{array}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede: calcular as integrais indefinidas (antiderivadas) a seguir. Cada linha é uma integral que precisa de uma primitiva geral (com constante de integração \,C):
Antes de começar, vou explicar (bem didático) as principais técnicas que vou usar, com a ideia por trás de cada uma:
Substituição (método do u): se a integral tem uma parte que é derivada de outra, é prático definir \,u=g(x) e usar \,du=g'(x)\,dx. Isso reduz a integral a uma forma mais simples \int f(u)\,du. Exemplo padrão: se a integrand é g'(x)\,f(g(x)) então se toma u=g(x) e obtém \int f(u)\,du.
Integração de potência: \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Em especial, \int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Antiderivadas fundamentais: \displaystyle \int \frac{du}{u}=\ln|u|+C, \displaystyle \int \frac{du}{1+u^{2}}=\arctan u + C, \displaystyle \int \sin u\,du=-\cos u + C, e \displaystyle \int \cos u\,du=\sin u + C.
Para funções logarítmicas: se u=\ln x então du=\dfrac{dx}{x}, então \int \dfrac{(\ln x)^{n}}{x}\,dx = \int u^{n}\,du.
Relações trigonométricas e derivadas: \dfrac{d}{dx}\big(\sin x\big)=\cos x, \dfrac{d}{dx}\big(\cos x\big)=-\sin x, \dfrac{d}{d\theta}\big(\tan\theta\big)=\operatorname{sec}^{2}\theta. Essas derivadas permitem ver substituições óbvias do tipo u=\sin x ou u=\tan\theta.
Agora aplico essas ideias integral por integral, mostrando cada passo.
Passo 3
Integral 1: \displaystyle \int \frac{dx}{a x+b} com a\neq 0.
Escolha da substituição: note que a derivada de a x+b é a. Então ponho
u = a x + b.
A diferenciação dá
du = a\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{a}.
Explicação curta: troquei ax+b por u, a integral virou \frac{1}{a}\int du/u e usei \int du/u=\ln|u|.
Passo 4
Integral 2: \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}\\ \operatorname{sen}^{-1}x}.
Reconhecimento: aparece \sqrt{1-x^{2}} junto com \operatorname{sen}^{-1}x (arco-seno). Uma substituição natural é u=\operatorname{sen}^{-1}x porque sabemos que \sin u = x e então \cos u = \sqrt{1-x^{2}} (para |x|<1 e escolhendo o ramo principal). Faço:
u=\operatorname{sen}^{-1}x \quad\Rightarrow\quad x=\sin u.
Integral 7: \displaystyle \int \operatorname{tg}\theta\\ \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Aqui use que \dfrac{d}{d\theta}\big(\operatorname{tg}\theta\big)=\operatorname{sec}^{2}\theta. Então a substituição natural é u=\operatorname{tg}\theta, com du=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Assim: