Calcule a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo
.
Passo 1
O enunciado dá uma curva parametrizada por
com o parâmetro variando em
.
A pergunta é: calcular a área da superfície obtida pela rotação dessa curva em torno do eixo .
A pergunta é: calcular a área da superfície obtida pela rotação dessa curva em torno do eixo
Lista clara dos dados e do que é pedido:
- Curva:
para . - Eixo de rotação: eixo
. - Pedido: área da superfície gerada pela rotação da curva sobre
.
Passo 2
Entender a fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando se rotaciona um pequeno segmento de curva de comprimento situado a uma distância
do eixo
, a figura gerada é aproximadamente um “anel” (frustro de um cilindro fino) cuja área lateral é aproximadamente
. Integrando esses anéis ao longo de toda a curva obtemos a área total da superfície.
Quando se rotaciona um pequeno segmento de curva de comprimento
Para uma curva parametrizada por
com coordenadas
, o elemento de comprimento de arco é
Portanto a fórmula do área da superfície obtida ao rotacionar em torno do eixo
é
onde
e
são os limites do parâmetro (aqui
).
Explicando as variáveis:
Explicando as variáveis:
-
é a distância do ponto até o eixo (raio do anel). -
é o comprimento do pequeno segmento da curva. - A integral soma as áreas de todos os anéis.
Passo 3
Aplicar a fórmula ao caso dado: primeiro calcular as derivadas.
Dado e
, tem-se
Dado
Passo 4
Calcular
usando as derivadas e simplificar cuidadosamente:
Passo 5
Montar o integrando
e simplificar:
Logo a área é
Passo 6
Calcular a integral
por substituição. Fazer a substituição
, então
e
. Quando
tem
; quando
tem
. Assim
Integrando:
Avaliar nos limites:
Escrever de forma equivalente:
Passo 7
Breve verificação numérica (opcional, só para intuir o tamanho): calcula-se aproximadamente
logo
(Isto é apenas uma aproximação para conferir ordem de grandeza; a resposta exata está abaixo.)