x=t, \quad y=\sqrt{t}, \quad 1 \leq t \leq 4
Calcule a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametrizada por \,x=t,\;y=\sqrt{t}\, com o parâmetro variando em \,1\le t\le 4.
A pergunta é: calcular a área da superfície obtida pela rotação dessa curva em torno do eixo x.
Lista clara dos dados e do que é pedido:
  • Curva: \,x(t)=t,\;y(t)=\sqrt{t}\, para \,t\in[1,4].
  • Eixo de rotação: eixo x.
  • Pedido: área da superfície gerada pela rotação da curva sobre [1,4].

Passo 2

Entender a fórmula que vamos usar (explicação didática).
Quando se rotaciona um pequeno segmento de curva de comprimento \,ds\, situado a uma distância \,y\, do eixo x, a figura gerada é aproximadamente um “anel” (frustro de um cilindro fino) cuja área lateral é aproximadamente \,2\pi y\,ds. Integrando esses anéis ao longo de toda a curva obtemos a área total da superfície.
Para uma curva parametrizada por t com coordenadas x(t),y(t), o elemento de comprimento de arco é
ds=\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt.
Portanto a fórmula do área da superfície obtida ao rotacionar em torno do eixo x é
S=2\pi\int_{t_1}^{t_2} y(t)\,ds =2\pi\int_{t_1}^{t_2} y(t)\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^{2}+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^{2}}\,dt,
onde \,t_1 e \,t_2 são os limites do parâmetro (aqui \,t_1=1,\;t_2=4).
Explicando as variáveis:
  • \,y(t) é a distância do ponto até o eixo x (raio do anel).
  • \,ds é o comprimento do pequeno segmento da curva.
  • A integral soma as áreas de todos os anéis.

Passo 3

Aplicar a fórmula ao caso dado: primeiro calcular as derivadas.
Dado \,x(t)=t e \,y(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}, tem-se
\dfrac{dx}{dt}=1, \qquad \dfrac{dy}{dt}=\dfrac{1}{2}t^{-1/2}.

Passo 4

Calcular \,ds usando as derivadas e simplificar cuidadosamente:
ds=\sqrt{\left(1\right)^{2}+\left(\dfrac{1}{2}t^{-1/2}\right)^{2}}\,dt =\sqrt{1+\dfrac{1}{4}t^{-1}}\,dt =\sqrt{\dfrac{4t+1}{4t}}\,dt =\dfrac{\sqrt{4t+1}}{2\sqrt{t}}\,dt.

Passo 5

Montar o integrando y\,ds e simplificar:
y\,ds=\sqrt{t}\cdot\frac{\sqrt{4t+1}}{2\sqrt{t}}\,dt=\frac{\sqrt{4t+1}}{2}\,dt.
Logo a área é
S=2\pi\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{4t+1}}{2}\,dt=\pi\int_{1}^{4}\sqrt{4t+1}\,dt.

Passo 6

Calcular a integral \,\pi\int_{1}^{4}\sqrt{4t+1}\,dt\, por substituição. Fazer a substituição \,u=4t+1, então \,du=4\,dt e \,dt=\dfrac{du}{4}. Quando \,t=1 tem \,u=5; quando \,t=4 tem \,u=17. Assim
S=\pi\int_{u=5}^{17}\sqrt{u}\,\frac{du}{4}=\frac{\pi}{4}\int_{5}^{17}u^{1/2}\,du.
Integrando:
\frac{\pi}{4}\int u^{1/2}\,du=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{\pi}{6}u^{3/2}.
Avaliar nos limites:
S=\frac{\pi}{6}\Bigl(u^{3/2}\Bigr)\Big|_{5}^{17}=\frac{\pi}{6}\bigl(17^{3/2}-5^{3/2}\bigr).
Escrever de forma equivalente:
S=\frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\bigr).

Passo 7

Breve verificação numérica (opcional, só para intuir o tamanho): calcula-se aproximadamente
17\sqrt{17}\approx17\cdot4,1231\approx70,093,\qquad 5\sqrt{5}\approx5\cdot2,2361\approx11,180,
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S\approx\frac{\pi}{6}(70,093-11,180)\approx\frac{\pi}{6}\cdot58,913\approx30,854\\ (\text{unidades}^2).
(Isto é apenas uma aproximação para conferir ordem de grandeza; a resposta exata está abaixo.)

Resposta

\dfrac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-5\sqrt{5}\bigr)

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