Calcule a integral integralegral duplaR(2 x-y) d A em coordenadas polares. Onde R é a região do primeiro quadrante da curva dada por x^2+y^2=y e as retas x=0 e y=x.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaR(2x - y) , dA usando coordenadas polares. O tema aqui é integração em coordenadas polares, que é útil para regiões com simetria circular. Precisamos entender a região R, que está no primeiro quadrante e é limitada pela curva x^2 + y^2 = y e pelas retas x = 0 e y = x.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva x^2 + y^2 = y. Podemos reescrever essa equação para facilitar a conversão para coordenadas polares. Subtraindo y de ambos os lados:
x^2 + y^2 - y = 0

Passo 3

Agora, completamos o quadrado para a variável y:
x^2 + (y^2 - y + 14) = 14
Então, a equação se torna:
x^2 + (y - 12)^2 = (12)^2
Isso representa um círculo com centro em (0, 12) e raio 12.

Passo 4

Agora, vamos converter as equações para coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta. A equação do círculo se transforma em:
r^2 = r sintheta
Dividindo ambos os lados por r (r ≠ 0):
r = sintheta

Passo 5

As retas que limitam a região são x = 0 e y = x. Em coordenadas polares:
  • x = 0 representa theta = pi2
  • y = x representa theta = pi4
Portanto, o ângulo theta varia de pi4 a pi2.

Passo 6

Dentro desses limites de theta, o raio r varia de 0 até r = sintheta. Então, nossos limites de integração são:
pi4 <= theta <= pi2, 0 <= r <= sintheta

Passo 7

Agora, reescrevemos a função integranda 2x - y em coordenadas polares:
2x - y = 2(r costheta) - (r sintheta) = r(2costheta - sintheta)

Passo 8

A integral dupla em coordenadas polares inclui o jacobiano r, então:
integral duplaR(2x - y) , dA = integralpi4^pi2 integral0^sintheta r(2costheta - sintheta) cdot r , dr , dtheta
Que simplifica para:
integralpi4^pi2 integral0^sintheta r^2(2costheta - sintheta) , dr , dtheta

Passo 9

Vamos integrar em relação a r primeiro:
integral0^sintheta r^2 , dr = [ r^33 ]0^sintheta = (sintheta)^33

Passo 10

Substituindo de volta na integral em theta:
integralpi4^pi2 (sintheta)^33 (2costheta - sintheta) , dtheta
Podemos fatorar o 13:
13 integralpi4^pi2 (sintheta)^3 (2costheta - sintheta) , dtheta

Passo 11

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
(sintheta)^3 (2costheta - sintheta) = 2sin^3theta costheta - sin^4theta
Então, a integral fica:
13 ( 2 integralpi4^pi2 sin^3theta costheta , dtheta - integralpi4^pi2 sin^4theta , dtheta )

Passo 12

Agora, resolvemos cada integral individualmente. Para a primeira:
integral sin^3theta costheta , dtheta
Fazendo a substituição u = sintheta, du = costheta , dtheta:
integral u^3 , du = u^44 = sin^4theta4
Para a segunda integral:
integral sin^4theta , dtheta
Usamos a identidade trigonométrica:
sin^4theta = 38 - 12cos(2theta) + 18cos(4theta)
Integrando termo a termo:
integral sin^4theta , dtheta = 38theta - 14sin(2theta) + 132sin(4theta) + C

Passo 13

Aplicando os limites de integração:
Para a primeira integral:
2 [ sin^4theta4 ]pi4^pi2 = 12 [ sin^4(pi2) - sin^4(pi4) ] = 12 ( 1 - (raiz22)^4 ) = 12 ( 1 - 14 ) = 38
Para a segunda integral:
[ 38theta - 14sin(2theta) + 132sin(4theta) ]pi4^pi2 = ( 38 cdot pi2 - 14 cdot 0 + 132 cdot 0 ) - ( 38 cdot pi4 - 14 cdot sin(pi2) + 132 cdot sin(pi) )
Simplificando:
3pi16 - ( 3pi32 - 14 ) = 3pi16 - 3pi32 + 14 = 3pi32 + 14

Passo 14

Agora, juntando tudo:
13 ( 38 - ( 3pi32 + 14 ) ) = 13 ( 38 - 3pi32 - 14 ) = 13 ( 38 - 14 - 3pi32 )
Convertendo 14 para 832 e 38 para 1232:
13 ( 1232 - 832 - 3pi32 ) = 13 ( 432 - 3pi32 ) = 13 cdot 4 - 3pi32 = 4 - 3pi96

Resposta

O valor da integral é 4 - 3pi96.

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