Calcule a integral
em coordenadas polares. Onde R é a região do primeiro quadrante da curva dada por
e as retas
.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
usando coordenadas polares. O tema aqui é integração em coordenadas polares, que é útil para regiões com simetria circular. Precisamos entender a região R, que está no primeiro quadrante e é limitada pela curva
e pelas retas
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Podemos reescrever essa equação para facilitar a conversão para coordenadas polares. Subtraindo y de ambos os lados:
Passo 3
Agora, completamos o quadrado para a variável y:
Então, a equação se torna:
Isso representa um círculo com centro em
e raio
.
Passo 4
Agora, vamos converter as equações para coordenadas polares, onde
e
. A equação do círculo se transforma em:
Dividindo ambos os lados por r (r ≠ 0):
Passo 5
As retas que limitam a região são
e
. Em coordenadas polares:
-
representa -
representa
Portanto, o ângulo
varia de
a
.
Passo 6
Dentro desses limites de
, o raio r varia de 0 até
. Então, nossos limites de integração são:
Passo 7
Agora, reescrevemos a função integranda
em coordenadas polares:
Passo 8
A integral dupla em coordenadas polares inclui o jacobiano
, então:
Que simplifica para:
Passo 9
Vamos integrar em relação a r primeiro:
Passo 10
Substituindo de volta na integral em
:
Podemos fatorar o
:
Passo 11
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 12
Agora, resolvemos cada integral individualmente. Para a primeira:
Fazendo a substituição
,
:
Para a segunda integral:
Usamos a identidade trigonométrica:
Integrando termo a termo:
Passo 13
Aplicando os limites de integração:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Simplificando:
Passo 14
Agora, juntando tudo:
Convertendo
para
e
para
:
Resposta
O valor da integral é
.