Calcular a área da rosácea r=sen 2 theta utilizando integração simples e depois integração dupla.
Obs.: Para a integração dupla, na rosácea o corte radial vai da origem até a rosácea.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de calcular a área da rosácea dada por r = sin 2theta . O conteúdo aqui envolve cálculo em coordenadas polares, usando integrações simples e duplas. Vamos precisar entender como configurar a integral em coordenadas polares e aplicar as fórmulas corretas para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área usando integração simples. Em coordenadas polares, a fórmula para a área A de uma curva é:
A = 12 integrala^b r^2 , dtheta
Aqui, r = sin 2theta , então vamos substituir na fórmula.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. A rosácea r = sin 2theta tem 4 pétalas devido ao coeficiente 2. Cada pétala corresponde a um intervalo de theta de 0 a pi2 . Como são 4 pétalas iguais, podemos calcular a área de uma pétala e multiplicar por 4.
Então, a área de uma pétala é:
Apétala = 12 integral0^pi2 (sin 2theta)^2 , dtheta é

Passo 4

Vamos resolver a integral. Primeiro, usamos a identidade trigonométrica:
sin^2 x = 1 - cos 2x2
Aplicando isso:
(sin 2theta)^2 = 1 - cos 4theta2
Substituindo na integral:
Apétala = 12 integral0^pi2 1 - cos 4theta2 , dtheta = 14 integral0^pi2 (1 - cos 4theta) , dtheta é
Integrando termo a termo:
14 [ theta - sin 4theta4 ]0^pi2 = 14 ( pi2 - 0 ) = pi8
Multiplicando pela quantidade de pétalas (4):
A = 4 times pi8 = pi2

Passo 5

Agora, vamos calcular a mesma área usando integração dupla. Em coordenadas polares, a área é dada por:
A = integral integralD r , dr , dtheta
Onde D é a região delimitada pela curva. Para a rosácea r = sin 2theta , os limites de r vão de 0 até sin 2theta e theta varia de 0 a pi para cobrir todas as pétalas.
Então, a integral fica:
A = integral0^pi integral0^sin 2theta r , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^sin 2theta r , dr = [ r^22 ]0^sin 2theta = (sin 2theta)^22
Agora, substituímos na integral externa:
A = integral0^pi (sin 2theta)^22 , dtheta
Isso é similar ao que fizemos na integração simples. Usando a mesma identidade trigonométrica:
sin^2 2theta = 1 - cos 4theta2
Então:
A = 12 integral0^pi 1 - cos 4theta2 , dtheta = 14 integral0^pi (1 - cos 4theta) , dtheta
Integrando:
14 [ theta - sin 4theta4 ]0^pi = 14 ( pi - 0 ) = pi4

Resposta

Portanto, a área da rosácea r = sin 2theta é pi2 usando integração simples e pi4 usando integração dupla.

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