Calcular a área da rosácea
utilizando integração simples e depois integração dupla.
Obs.: Para a integração dupla, na rosácea o corte radial vai da origem até a rosácea.
Obs.: Para a integração dupla, na rosácea o corte radial vai da origem até a rosácea.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de calcular a área da rosácea dada por
. O conteúdo aqui envolve cálculo em coordenadas polares, usando integrações simples e duplas. Vamos precisar entender como configurar a integral em coordenadas polares e aplicar as fórmulas corretas para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área usando integração simples. Em coordenadas polares, a fórmula para a área
de uma curva é:
Aqui,
, então vamos substituir na fórmula.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. A rosácea
tem 4 pétalas devido ao coeficiente 2. Cada pétala corresponde a um intervalo de
de
a
. Como são 4 pétalas iguais, podemos calcular a área de uma pétala e multiplicar por 4.
Então, a área de uma pétala é:
Passo 4
Vamos resolver a integral. Primeiro, usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Substituindo na integral:
Integrando termo a termo:
Multiplicando pela quantidade de pétalas (4):
Passo 5
Agora, vamos calcular a mesma área usando integração dupla. Em coordenadas polares, a área é dada por:
Onde
é a região delimitada pela curva. Para a rosácea
, os limites de
vão de 0 até
e
varia de 0 a
para cobrir todas as pétalas.
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Agora, substituímos na integral externa:
Isso é similar ao que fizemos na integração simples. Usando a mesma identidade trigonométrica:
Então:
Integrando:
Resposta
Portanto, a área da rosácea
é
usando integração simples e
usando integração dupla.